数学模型复习提纲完全版.doc

《数学模型》复习提纲
考试题型
填空题(16分)
（基本概念）
简答题(24分)

计算题(60分) （基本概念）

复习重点章节：
Ch1.建立数学模型（基本概念）
§1 数学建模的背景及重要意义；
§2数学建模的基本方法和步骤；
§3数学模型的分类与特点、数学建模的全过程；
Ch2.初等模型（基本计算）
§1公平席位分配
§10量纲分析与无量纲化；
Ch3.简单的优化模型（基本概念）
§1存储模型
§2生猪的出售时机；
§3森林救火
Ch4.数学规划模型（基本计算）
§1奶制品的生产与销售；
Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）
§1传染病模型；
§3正规战与游击战
Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）
§1捕鱼业的持续收获；
§2军备竞赛
Ch7. 差分方程模型（基本计算）
§1市场经济中蛛网模型
Ch8.离散模型（基本概念）
§1 层次分析模型；
§2循环比赛的名次
Ch9.概率模型（基本概念）
§1传送系统的效率；
§2 报童的诀窍；
§3 随机存贮策略，（s，S）随机存储策略；
典型题型（仅作参考）
1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、 模型构成 、
模型求解 、模型分析 、模型检验 、模型应用等.

2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、经济模型等.
3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．
4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．
5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称．
答: 描述模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型
6. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.
答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型
7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.

评选影片
答： 目标层

票房
娱乐性
艺术性
思想性

准则层

方案层

8. ．写出数学建模过程的流程图.

数学建模过程的流程图：
实际
问题
抽象、简化、假设、确定变量、参数　
归结
数学模型
数学地、数值地求解模型
估计参数
检验模型
(用实例或有关知识)
符合否
评价、推广并交付使用
产生经济、社会效益

9. 有4支球队A、B、C、D进行单循环赛，比赛结果是这样的：A胜B和C，B胜C和D，C胜D，D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．

这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ，它是双向连通的.；
令，分别计算.从而可得这4支球队A、B、C、D的名次为{A，B，D，C}．

10．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.

解：设,,,， 的关系为.其量纲表达式为
[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T-2
其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 即

的基本解为

得到两个相互独立的无量纲量

即 . 由 , 得
, 其中是未定函数.

9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、
劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：

已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力
满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.

解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元 …（1分）
依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4分）
利润目标函数z=6x+12y …（8分）
如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．
解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）…（11分）
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润 …（12分）

11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：
品种
面粉（千克）
糖（千克）
蛋（千克）
利润（千元）
精制
0.1
0.2
0.3
0.3
普通
0.3
0.2
0.1
0.2
已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.
解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10千克和10千克，糕点的利润为（千元），由题意得此问题的数学模型为：

y
6
5
(3/2,9/2)
4

3
2 (9/2,3/2) L1
1
x
0 1 2 3 4 5 6 x+y=6
3x+y=15 L3 L2

s.t.
这是一个线性规划问题.
模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线

组成的凸五边形区域.
直线在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当过的交点时，取最大值. 由
解得：，（千元）.
故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.

12．试求Gompertz模型：的非零平衡点，并讨论其稳定性．

记
令，得 非零平衡点为．
又，． 平衡点是稳定的.

13开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期与其椭圆轨道长半轴、太阳与行星的质量、万有引力常数有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期的表达式.（万有引力定律公式为：）
解：设,,, 的关系为,,,=0.其量纲表达式为， ，，=,其中，，是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay0 ，即

的基本解为
由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.

14. 已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品价格的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.
设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和：
--------------------（1）
--- ----------------（2）
由（2）得 ----------------3）
（1）代入（3），可得
， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：

容易算出其特征根为
---------------（5）
当8时，显然有
-----------（6）
从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ．
故点稳定平衡条件为 ．

15．设某渔场鱼量(时刻渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.
（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大持续产量,并求此时渔场鱼量水平.
解：（1）.变化规律的数学模型为
记,令 ，即 ----（1） ， （1）的解为：
① 当时，（1）无实根，此时无平衡点；
②当时，（1）有两个相等的实根，平衡点为.
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即不稳定；
③ 当时，得到两个平衡点：
，
易知 ， ，
平衡点不稳定 ，平衡点稳定.
（2）．最大持续产量的数学模型为：
即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.

16. 与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：
其中和的意义与Logistic模型相同
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平.
解：（1）变化规律的数学模型为
记 ，令，即 ＝0
得到两个平衡点：（如图所示）
，

可证稳定，不稳定
（与E，r的大小无关）. Ex

， o x
N
（2）最大持续产量的数学模型为：max h＝Ex
s.t.

由，得E ，故最大持续产量
此时捕捞强度E，渔场鱼量水平.

17. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻这两类人在总人数中所占比例分别记作和，又设每个病人每天有效接触的平均人数是.试建立描述变化的数学模型，并作出图形.
P136

18. 一食品加工厂用牛奶生产两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤，每公斤获利24元，每公斤获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.
(线性规划,同11题)

09级本科《数学模型》复习提纲
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