可分离变量方程市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、可分离变量方程,第五模块微分方程,第二节一阶微分方程,二、一阶线性微分方程,第1页,第1页,一阶微分方程普通形式为,F,(,x,y,y,)=0.,第2页,第2页,一、可分离变量方程,比如：形如,y,=,f,(,x,),g,(,y,),微分方程，称为,可分离变量方程,.,(,1,),分离变量,将方程整理为,使方程各边都只含有一个变量.,形式，,第3页,第3页,(,2,),两边积分,两边同时积分，得,故方程通解为,我们商定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数一个原函数，,而把积分所带来任意常数明确地写上.,第4页,第4页,例,1,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程通解,第5页,第5页,例,2,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,化简得,第6页,第6页,另外，,y,=0,也是方程解，,因此,C,2,为任意常数,求解过程可简化为：,两边积分得,即通解为,其中,C,为任意常数.,中 C2 可认为 0，,这样，方程通解是,分离变量得,第7页,第7页,例,3,求方程 d,x,+,xy,d,y,=,y,2,d,x,+,y,d,y,满足初始条件,y,(0)=2 特解.,解,将方程整理为,分离变量，得,两边积分，有,第8页,第8页,化简，得,即,将初始条件,y,(0)=2,代入，,为所求之通解.,得,C,=3,.,故所求特解为,第9页,第9页,例,4,解,分离变量得,即,第10页,第10页,两边积分，得,经整理，得方程通解为,也可写为,第11页,第11页,二、一阶线性微分方程,一阶微分方程下列形式,称为一阶线性微分方程，简称,一阶线性方程,.,其中,P,(,x,)、,Q,(,x,),都是自变量已知连续函数.,左边每项中仅含,y,或,y,，且均为,y,或,y,一次项.,它特点是：右边是已知函数，,第12页,第12页,称为一阶线性齐次微分方程，简称,线性齐次方程,，,0，则称方程,为一阶线性非齐次微分方程，简称,线性非齐次方程,.,通常方程,称为方程,所相应线性齐次方程.,若,Q,(,x,),若,Q,(,x,)0，则方程成为,第13页,第13页,1,.一阶线性齐次方程解法,一阶线性齐次方程,是可分离变量方程.,两边积分，得,因此，方程通解公式为,分离变量，得,第14页,第14页,例,6,求方程,y,+,(sin,x,),y,=0 通解.,解,所给方程是一阶线性齐次方程，且,P,(,x,)=sin,x,，,由通解公式即可得到方程通解为,则,第15页,第15页,例,7,求方程,(,y,-,2,xy,),d,x,+,x,2,d,y,=0,满足初始条件,y,|,x,=1,=e,特解.,解,将所给方程化为下列形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程通解将初始条件,y,(1)=e,代入通解，,得,C,=1,.,故所求特解为,第16页,第16页,2,.一阶线性非齐次方程解法,设,y,=,C,(,x,),y,1,是非齐次方程解，,将,y,=,C,(,x,),y,1,(其中,y,1,是齐次方程,y,+,P,(,x,),y,=0,解)及其导数,y,=,C,(,x,),y,1,+,C,(,x,),y,1,代入方程,则有,即,第17页,第17页,因,y,1,是相应线性齐次方程解，,因此有,其中,y,1,与,Q,(,x,),均为已知函数，,代入,y,=,C,(,x,),y,1,中，得,容易验证，上式给出函数满足线性非齐次方程,因此能够通过积分求得,第18页,第18页,且含有一个任意常数，因此它是一阶线性非齐次方程,通解,在运算过程中，我们取线性齐次方程一个解为,于是，一阶线性非齐次方程通解公式，就可写成：,上述讨论中所用办法，是将常数,C,变为待定函数,C,(,x,),，,再通过拟定,C,(,x,),而求得方程解办法，称为,常数变易法,.,第19页,第19页,例,8,求方程 2,y,-,y,=e,x,通解.,解,法一,使用常数变易法求解,将所给方程改写成下列形式：,这是一个线性非齐次方程，它所相应线性齐次方程通解为,将,y,及,y,代入该方程，得,设所给线性非齐次方程解为,第20页,第20页,于是，有,因此，原方程通解为,解法,二,利用通解公式求解,将所给方程改写成下列形式：,第21页,第21页,则,代入通解公式，得原方程通解为,第22页,第22页,例,9,求解初值问题,解,使用常数变易法求解,将所给方程改写成下列形式：,则与其相应线性齐次方程,通解为,第23页,第23页,设所给线性非齐次方程通解为,于是，有,将,y,及,y,代入该方程，得,第24页,第24页,因此，原方程通解为,将初始条件,y,(,p,)=1 代入，得,C,=,p,，,因此，所求特解，即初值问题解为,第25页,第25页,例,10,求方程,y,2,d,x,+(,x,-,2,xy,-,y,2,)d,y,=0 通解.,解,将原方程改写为,这是一个关于未知函数,x=x,(,y,)一阶线性非齐次方程，,它自由项,Q,(,y,)=1.,第26页,第26页,代入一阶线性非齐次方程通解公式，有,即所求通解为,第27页,第27页,