基于Ebbinghaus曲线的最优单词.doc

 
基于Ebbinghaus曲线的最优单词
记忆法模型

陈其璋 3013001059
侯宁宁 3013001052
罗曦 3013001032

摘要：本文基于心理学家Ebbinghaus研究绘制的遗忘曲线，对记忆单词的学习和复习的协调进行了研究。通过结合时间与记忆量，提出了学习和复习的记忆效率，以此入手，对复习曲线的进行了推导和模拟，最后使每组单词的总体记忆效率达到最大，从而使记忆的总单词量达到最大。
关键词：Ebbinghaus遗忘曲线 记忆效率

一.背景与问题的叙述
保持和遗忘是一对冤家对头。你对以前学过的知识能够回忆起来，就是保持住了，如果回忆不起来或回忆错了，就是遗忘。
对于学生来说，可以说最扰人的事情就是遗忘。花了不少时间和精力辛辛苦苦学了的东西过了一段时间之后常常都回忆不起来，这无疑给学生们“作无用功”的错觉，对他们的学习积极性和自信心是一不小的打击。实际上，通过改善学习方案可以在一定程度上提高技艺的效率。
具体到在英语学习过程中，学生遇到的最大问题之一就是如何记忆大量的英语单词。这种情况下，怎样安排自己的学习计划显得至关重要，我们的目标任务是：给出一种最优方案，使学生在一定时间内记忆的单词最多。

二．有关假设
(1). 每个单词的难度相同，即记忆所需时间和遗忘的快慢相同。
(2). 每天学习的时间固定且相同。
(3). 复习同一单词量，等效为用学习新单词的速率去记忆该单词量中被遗忘的部分。
(4). 复习后的遗忘速率与在复习开始前所遗忘部分的量成正比（后有详细说明）。
(5). 考虑到我们所研究问题的特殊性，相对于终身记忆来说，研究的是一个短期记忆效率的问题。不妨假设所给时间为两个月（60天）（比方说两个月后就是四，六级或者GRE考试），其他可以以此类推。

三．问题的分析及模型的建立
德国心理学家艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus)对遗忘现象做了系统的研究，他用无意义的音节作为记忆的材料，把实验数据绘制成一条曲线，称为艾宾浩斯遗忘曲线。
它的纵坐标代表保持量。曲线表明了遗忘发展的一条规律：遗忘进程是不均衡的，在识记的最初遗忘很快，以后逐渐缓慢，到了相当的时间，几乎就不再遗忘了，也就是遗忘的发展是“先快后慢”。

下图是Ebbinghaus的一组理论数据，表示的是一定量单词在不同时间后的遗忘程度：

基于此数据，可以拟合出一条遗忘的曲线：

其中k, c为参数，可以通过统计的参数估计得到，
k=1.84
h=1.25.
此即遗忘曲线的近似表达式

图（1）是在30天内单词的遗忘曲线：
图（1） 图（2）

通过对曲线求导，我们可以明显的发现，以往的速率确实先快后缓，尤其是在刚学习后的一天，遗忘程度急速增大，见图（2）。
在此基础上建立模型：
设学习的时间为n天，第i天新记忆的单词量为
设到第n天总共记忆的单词个数为

为第i天背的新单词在第n天记住的其中的单词个数，它可以等于所花的时间与记忆效率的乘积：

为对第i天所学的新单词进行学习和复习的总时间，为在最后一天衡量的对第i天所学新单词的记忆效率（考虑了学习和复习的总时间）。

所以P又可以写为：

我们期望的是如何安排学习和复习的时间才能使到最后一天即到第n天记住的单词量最多。

四．模型的求解
右图是Ebbinghaus通过统计试验得出的又一组数据，表示的是记忆不同长度的音节在每天所需要进行的重复次数，
根据实际情况，一般的单词都在12音节以下，所以我们只对图表中的第一行做分析，我们先记

记表示记忆新单词后连续r天每天复习一次，之后经过j天对单词的记忆程度。不妨假设该记忆程度在宏观上表现为记住的中的单词量在中所占百分比。比如说在第m天记忆了一组新单词，在接下来r天每天复习，以后再没有复习, 到m+r+j天的时候那组单词掌握的程度就是，也就是实际记住了个单词。若r=0则表示记忆之后不复习的掌握程度。

由图（1）我们可以直接得到：

Ebbinghaus曲线只给出了一次记忆后的遗忘情况。经过多次复习记忆以后，遗忘曲线将会不同。我们根据假设四可推得。

由假设四，复习r遍后遗忘速率与在此次复习开始前已遗忘的量成正比（因为按常理，已经记住的越多，复习后就会忘得越慢，若已经记住的越少，复习后就会忘得越快）。
记Ebbinghaus曲线为，连续复习r遍后的遗忘曲线为。则，可分别表示复习r次后，和新学习后的遗忘速率。可以设刚学习前所谓的“遗忘量”为100%，而表示遗忘量的比值，则有
，由积分可得曲线
积分常数的确定根据每次复习后记忆的程度为100%，即。
所以，即有。

计算得 与实验数据（表示要记住遗忘的单词所花时间与学习全部新单词所花时间的比值）符合得非常好。由此说明表达式的正确性以及该假设的合理性。
按照常理和经验，对所记忆的单词立即进行复习效率常常最高，记忆效果也最好。故我们先考虑对同一连续复习的情况。
记为连续复习r次以后在最后一天衡量的对第i天所学新单词的记忆效率，则有

我们设为在第i天记忆新单词所用的时间，那么在连续k天复习后过j天再次复习次单词量所需时间为。 则，又由假设一为一常数，设为c。可以得到
考虑对于第一天单词的记忆量，相应有

可见，对于同一进行连续复习,记忆单词的整体平均效率是先增后减。通过观察我们可以看出，由于第六天的复习效率开始下降，到了第六天就可以不必复习了。
同样道理，有，而在r不大（重复次数不多）的情况下，随着r的改变变化不大，近似设为d(i);则原式变为，而分母是与i无关的量，故与随着r的增加呈相同的规律，即第五次复习时效率开始降低。故对于进行连续复习，复习四次效果最好。

下面我们说明优先考虑的连续复习确不失为最优方案。
证明：给定相同的复习次数，连续复习其记忆效果是最好的
给定相等的复习次数，因为在连续复习情况下 ；
若有任何一天不是连续的，分母中的将变为，（j为大于1的任何数），显然有，从而使分母变大，而分子变为，s为第r次复习距上次复习的时间。考虑到不会选择隔很久再复习，显然这样很不划算，需要花很多的时间，故s不会大。根据计算所得，当s不大时，随s的改变近似不变。所以变小。故连续复习是最好的。可以直观的理解为遗忘的越多复习要花的时间越长，从而效率越低。

上面证明了对于每块单词连续复习四天可以使达到最高，即对于每块单词量达到了局部最优的规划。而我们的目标是使
最大.即整体最优。
我们在下面说明达到局部最优可以同时实现整体最优
对于第i天学习的新单词，不管那一天留给学习新单词的时间为多少，学的新单词量有多少，
都是一定的。
因为, , 设
所以

N为学习天数 T为每天学习的时间。只有尽量使每个=，才能达到p与knt的差距最小，设为g, 即达到最优状况。假如对某一（不管的大小多少）不按该计划学习，势必会造成相关的<，而最高的效率势必小于g，从而使p小于最优值。证毕。
另外，当连续复习四遍后，在两个月内基本不会遗忘()，因此可以退出复习系统。
综上所述，复习四天的效率是最高的。

到这里，你也许会有疑问：在每天学习时间一定的情况下，能保证复习完前五天（如果有五天，下同）的单词后能学习新的单词吗，甚至能保证可以复习完前四天的单词吗？我们说，这样的担心完全是多余的。
下面证明每天都有足够的时间来复习并学习新单词：
由连续复习四天的策略，每天至多需要复习四块不同的单词和学习新单词，记每块内容花费的时间为（） 下一天对每一块内容复习的时间 所以，即有足够的时间复习旧单词并学习一部分新单词。直观的图表如下：
可绘制图表

至此，我们给出了在一定时间内学习英语单词的最优方案，即在每天规定的时间内复习前四天记忆的单词并在剩余时间学习新单词。

五．模型的评价
模型根据对 Ebbinghaus的著作《memory》的实验数据进行研究，引入总体效率，换了一个新的角度，避免了规划问题中的复杂性。通过结合时间与记忆量，提出了学习和复习的记忆效率，以此入手，对复习曲线的进行了推导和模拟，采用先摸索后证明的方式，寻求使每组单词的总体记忆效率达到最大，从而与使记忆的总单词量达到最大达到统一。模型与Ebbinghaus的实验结合紧密，是对其研究成果的进一步延拓。
由于Ebbinghaus.在研究中是采用的无意义的音节记忆测试，其试验数据难免对我们模型有局限，得到的模型与实际有一定的偏差，要得到更好的遗忘曲线需要作大量的试验统计。
从遗忘曲线上很容易看出来在记忆以后的十几个小时内以往速率是相当大的，但考虑实际，我们还是以天为单位。若也考虑一天之内的短期记忆方法，效果应该会更好些。
参考文献
（1） （1）    Hermann Ebbinghaus.《memory》(1885) .
（2） （2）    杨启帆 方道元 《数学建模》 浙江大学出版社 1999