2014届浙江省高三高考模拟冲刺卷(提优卷)(四)理科数学试题及答案.doc

浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷（提优卷）（四）
数学理试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
柱体的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR2
球的体积公式

其中R表示球的半径

参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A，B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…，n)
台体的体积公式
V=
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，
h表示台体的高

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，下列结论成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若复数满足，则 （ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
4．已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：
①； ②；
第5题
结束
开始
否
是
输出s

③； ④．
其中正确的命题序号为 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
5．如果执行右边的程序框图，若输出的，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．9或10
6．设分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是 （ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
8．中，为锐角，为其三边长，如果，则的大小为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知正三角形的顶点，顶点在第一象限，若点在的内部或边界，则取最大值时，有 （ ）
A．定值52 B．定值82 C． 最小值52 D． 最小值50

10．定义函数，则函数在区间（）内的所有零点的和为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11． 展开式中的系数是 ．
12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为 ．
13．已知向量满足，则最大值为 ．
14．设点分别在直线和上运动，线段的中点恒在圆内，则点的横坐标的取值范围为 ．
15．已知，且，则当时，的单调递减区间是 ．
16．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，则的面积为 ．
17．已知是二次函数，令，如果数列是各项为正的等比数列，则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18． 设数列的前项的和为．已知，，．
（1）设求数列的通项公式；
（2）数列中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．

19． 在某次娱乐游戏中，主持人拿出甲、乙两个口袋，这两个口袋中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的10个小球，其中甲口袋中装有8个红球，2个白球，乙口袋中装有9个黄球，1个黑球．现进行摸球游戏，主持人宣布游戏规则：从甲口袋中摸一个球，如果摸出的是红球，记4分，如果摸出的是白球，则记分；从乙口袋中摸一个球，如果摸出的是黄球，记6分，如果摸出的是黑球，则记分．
（1）如果每次从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分（4次得分的总和）不少于10分的概率；
（2）设（单位：分）为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分，求的数学期望．

20．在四棱锥中， ，，点是线段上的一点，且，．
（1）证明：面面；
（2）求平面与平面的二面角的正弦值．

21．已知椭圆的短轴长为单位圆的直径，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆短轴的上顶点作直线分别与单位圆和椭圆交于两点（两点均在轴的右侧），设为椭圆的短轴的下顶点，求的最大值．

22．已知函数在处的切线是．
（1）试用表示和；
（2）求函数在上恒成立，求实数的取值范围．

2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）
数学理科（四）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． D提示：因为，所以A，B，C都错．
2． D提示：由得，所以．
3．A提示：当时，；当时，，得，推不出．
4．D提示：①可能在平面内，所以①错；②由得，因为，所以，②正确；③由可得，所以③错；④由，得，又，所以，即④正确．
5．B 提示：∵，所以，故．
6．B提示：由点在双曲线上，且，则，又，所以在中，由余弦定理得，解得
7．B提示：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有种，所以第一类的排法总数有种．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法，所以满足条件的排法总数是40种．
8．D提示：若，则，从而
，这与矛盾；同理也不可能，所以，及．
9．C提示：由题意得， 因为，而，所以取最大值时，点的坐标满足，所以，，对称轴，所以在上单调递增，因此当时有最小值52
10． D提示：当时，，所以，此时当时，；当时，，所以；
由此可得时，．
下面考虑且时，的最大值的情况．
当时，由函数的定义知，因为，所以，此时当时，；
当时，同理可知，．
由此可得且时，．
综上可得对于一切的，函数在区间上有1个零点，从而在区间上有个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18． 解：因为，且，所以，……2分
把代入得，……3分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．……5分

（2）假设数列中存在任意三项成等差数列．……6分
不妨设，由于数列单调递增，所以，所以，……9分
因此，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，……13分
所以数列中不存在不同的三项，它们构成等差数列．……14分
19． 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有个，则白球有个，由题设可得，解得，……4分由，得或，所以所求的概率为．……6分
（2）由题意知可能取值分别为，……8分
且由每次摸球的独立性，可得：，，，，……12分
由此得的数学期望为：．……14分
20．解：（1）由，得，
又因为，且，所以面，……5分
且面．所以，面面。……7分
（2）由（1）可知：面面，延长与交于一点，
作，连接，则平面与平面的二面角的平面角是
，……10分
在中，，，
所以，平面与平面的二面角的正弦值是．……15分
解法二：（1）同上；
（1）如图建系，
平面的法向量为，

因此，……10分
设平面的法向量为，则，
即可得，所以．
即平面与平面的二面角的正弦值是．……15分
21．解：（1）由题意知，又，解得，所以椭圆的方程为．……7分
（2）由（1）得，设过椭圆的短轴的上顶点的直线的方程为，由于为圆的直径，所以直线的斜率．把代入得，由题意易知，且直线的斜率为，所以，且，……10分
又在是直角三角形，所以必为锐角．因为与的方向向量分别为，所以，又从而……12分
，当且仅当时，取得最小值，由为锐角得的最大值为．……15分
22．解：（1）因为，所以，，即有．……5分
（2）由（1）可知，，
，，……7分
当时，成立，，……8分
当时，，
令，
令，（），所以，
，，，
，故．……14分
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