高三数学练习6.2.docx

2015年江苏省南通中学高三数学练习卷
班级__________姓名__________

注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
数学I

参考公式：

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合 则
答案：
2．函数的最小正周期为 ▲ ．
3．设复数满足（i是虚数单位），则的实部是 ▲ ．答案：1
4．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
答案：
5．执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的的范围是 ▲ ．

【答案】

6．对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 ▲ ．

【答案】 0.45

7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为 ▲ cm3．
8．函数的定义域为 ▲ ．
9．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2＝T8，则T10＝ ▲ ．
【答案】1
【提示】法一：由T2＝T8得a3·a4·…·a8＝1，则(a3·a8)3＝1，a3·a8＝1．
从而T10＝a1·a2·…·a10＝(a1·a10)5＝(a3·a8)5＝1；
法二：(特殊化思想)，取an＝1，则T10＝1．
【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{an}为正项等比数列，其前n项的乘积为Tn，若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1；可类比：{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若Sm＝Sn，则Sm＋n＝0．(其中m，n∈N*，m≠n)．
10． 以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为 ▲ ．
A
B
C
D
【答案】3
【提示】过A作AD⊥BC，垂足为D，
则·＝||||cosB＝BDBC＝3BD＝12，
所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．
设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝＝≤，
且仅当y＝，即y＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．
【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．
11．已知函数f (x)＝，若任意实数b，总存在实数x0，使得f (x0)＝b，则实数a的取值范围
是 ▲ ．
【答案】－5≤a≤4．
【提示】“任意实数b，总存在实数x0，使得f (x0)＝b”等价于函数f (x)的值域为R．
在平面直角坐标系xOy中，分别作出函数y＝x＋4及y＝x2－2x的图像，
观察图像可知－5≤a≤4．
【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．
12．已知P是圆上一动点，点P关于直线的对称点为点，则直线斜率的取值范围为 ▲ ．
【答案】
【解析】由题意：点的轨迹是圆关于直线的对称圆．
设点关于直线的对称点为．
由解得．
所以对称圆的方程为：．
由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，即．
由，得，解得．
所以直线斜率的取值范围为．
13．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则实数a的取值范围是 ▲ ．
【答案】（－∞，－2）
【提示】解法一：若a＝0，解得x＝±，不合题意．
若a＞0，则f (－1)＝－a－2＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x)存在负的零点，不合题意．
若a＜0，则f ′(x)＝3ax(x－)，可得f ()＝1－为极小值，则满足1－＞0，
解得a＞2或a＜－2．此时，取得a＜－2．
综上，a的取值范围是（－∞，－2）．
解法二：f (x)＝0，即ax3＝3x2－1，分离参数a＝－，同样可得a＜－2．
【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．
14．设函数f(x)＝lnx＋，（m∈R），若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围是 ▲ ．
【答案】[，＋∞）．
【提示】对任意的b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．
函数h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x在(0，＋∞)是单调减函数，
即h′(x)＝－－1≤0在0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－(x－)2＋（x＞0）恒成立，解得：m≥．所以m的取值范围是[，＋∞）．
【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，SA＝SB，SC＝SD，E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：平面SEF⊥平面ABCD；
（2）若平面SAB∩平面SCD＝l，试判断AB与l的位置关系并给出证明．
S
C
B
E
A
D
F
第15题

解：（1）由SA＝SB，E为AB中点得，SE⊥AB．
∵SC=SD且F为CD的中点，∴SF⊥CD．
又∵AB∥CD，∴AB⊥SF，
又SEÌ平面SEF，SFÌ平面SEF，且SE∩SF=S，
∴AB⊥平面SEF． ……………………………………4分
∵ABÌ平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD． ………………………………… 7分
（2）AB∥l．
∵AB∥CD，ADÌ平面SCD，AB平面SCD
∴直线AB∥平面SCD．……………………………………………………………… 11分
∵平面SAB∩平面SCD=l，
根据直线与平面平行的性质定理知：直线AB∥l．………………………………… 14分
16． 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且满足．
（1）若，面积，求的值；
（2）若△ABC不是钝角三角形，求的取值范围．
解：（1）因为，
所以，
所以，所以
因为在△ABC中，，
所以又B是△ABC的内角，所以． ………………3分
又，
所以或． 　…………………………………6分
（2）由（1）知，，

由得：． ……………………8分

（）． 　……10分
当时，；
当时，，
所以． 　 ………………………14分
17. 如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，，单位百米．已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不计），交线段于点，交线段于点．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数的图象．若点到轴距离记为．
（1）当时，求直路l所在的直线方程；
A
O
B
M
C
D
E
F
（第17题）
N
x
y
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

解：（1） 由题意得， ………………2分
又因为，所以直线的斜率，
故直线的方程为，即． ………………4分
（2） 由(1)易知，即．
令得，令得． ………………6分
由题意解得． ………………8分
． ………………10分
令，
则．
当时，；当时，；
当时，． ………………12分
当时，．
所求面积的最大值为． .………………14分

18． 如图所示，已知椭圆:()的离心率为，右准线方程为:，、是椭圆的左右顶点，以线段为直径作圆.
（1）求曲线、的方程；
（2）若是椭圆上任意一点（除左右顶点），直线交圆于点,过点做轴，垂足为,为线段的中点，直线交圆于点.
①判断直线与直线斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由；

(第18题)

②求的最大值.

（1）由题意知 ，,
曲线方程是，曲线的方程.
（2）①设点,点满足方程，则点，
，，
所以有. 直线与直线斜率之积为定值.
②设:()，则：，
到的距离，
故，
到的距离，
故，

.（当且仅当取等号）
故的最大值为.
19．已知二次函数f(x)=ax2+bx+1，g(x)=a2x2+bx+1．
（1）若f(x)≥g(x)对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同零点x1，x2，函数g(x)有两个不同零点x3，x4．
(i)　若x3＜x1＜x4，试比较x2，x3，x4的大小关系；
(ii)　若x1=x3＜x2，m，n，p∈，，求证m=n=p．
解：（1）因为f(x)≥g(x)对任意实数x恒成立，
所以，ax2≥a2x2对任意实数x恒成立，
所以，≤0，解得0≤a≤1． ……………………………………………… 3分
又由题意可得a≠0，所以实数a的取值范围为0＜a≤1． …………………… 5分
（2）(i)因函数g(x)的图象开口向上，且其零点为x3，x4，故g(x)＜0Ûx∈(x3，x4)．
因x1，x2是f(x)的两个不同零点，故f(x1)=f(x2)=0．
因x3＜x1＜x4，故g(x1)＜0=f(x1)，于是＜0．
注意到x1≠0，故a2-a＜0．
因g(x2)-f(x2)=＜0，故g(x2)＜f(x2)=0，从而x2∈(x3，x4)，于是x3＜x2＜x4．
………………………………………………………… 11分
(ii)记x1=x3=t，故f(t)=at2+bt+1=0，g(t)=a2t2+bt+1=0，于是(a-a2)t2=0．
因a≠0，且t≠0，故a=1．
所以，f(x)=g(x)且其图象开口向上．………………………………………………… 14分
所以，对∈，f(x)递减，递增且＜0，f(x)递减且f(x)＞0．
若m＞n，则＜＜0，于是＞＞0，从而f(p)＞f(n)＞0，故n＞p．
同上，当n＞p时，可推得p＞m．
所以，p＞m＞n＞p，矛盾．所以，m＞n不成立．
同理，n＞m亦不成立．
所以，m=n．
同理，n=p．
所以，m=n=p．………………………………………………………………………… 16分

20．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2＋2Sn，其中Sn 为数列{an}的前n项和．
（1）求a1，a2；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）bn＝，cn＝，试找出所有既在数列{bn}中又在数列{cn}中的项．
解：（1）令n＝1，则a13＝ S12＋2S1，即a13＝ a12＋2a1，所以a1＝2或a1＝－1或a1＝0．
又因为数列{an}的各项都是正数，所以a1＝2．
令n＝2，则a13＋a23＝ S22＋2S2，即a13＋a23＝(a1＋a2)2＋2(a1＋a2)，解得a2＝3或a2＝－2或a2＝0．
又因为数列{an}的各项都是正数，所以a2＝3．
（2）因为a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2＋2Sn (1)
所以a13＋a23＋a33＋…＋an－13＝Sn－12＋2Sn－1(n≥2) (2)
由(1)－(2)得an3＝( Sn2＋2Sn)－(Sn－12＋2Sn－1)＝(Sn－Sn－1)( Sn＋ Sn－1＋2)＝an( Sn＋Sn－1＋2)，
因为an＞0,所以an2＝Sn＋Sn－1＋2 (3)
所以an－12＝Sn－1＋Sn－2＋2(n≥3) (4)
由(3)－(4)得an2－an－12＝an＋an－1，即an－an－1＝1(n≥3)，
又a2－a1＝1，所以an－an－1＝1(n≥2)．
所以数列{an}是一个以2为首项，1为公差的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋1．
（3）Sn＝，所以bn＝＝,cn＝＝．
不妨设数列{bn}中的第n项bn和数列{cn}中的第m项cm相同，则bn＝cm．
即＝，即＝．
1o 若＝≥，则n2＋3n－18≤0，所以1≤n≤3，
n＝1时,＝，无解；
n＝2时，＝，即5·2m－5m－5＝3·2m＋3m＋3，
所以2m＝4m＋4，m＝1,2,3,4时2m＜4m＋4；m≥5时,令f(m)＝2m－4m－4,则f(m＋1)－f(m)＝2m－4＞0，所以f(m)单调增，所以f(m)≥f(5)＝8＞0,所以2m＝4m＋4无解；
n＝3时＝，即2m＝2m＋2，
m＝1,2时，2m＜2m＋2；
m＝3时，2m＝2m＋2；
m＝4时，2m＞2m＋2；
m≥5时，2m＞4m＋4＞2m＋2．
所以，m＝3，n＝3．
2o 若 ＝＜，即2m＜2m＋2．
由1°知，当m≥3时，2m≥2m＋2。
因此，当2m＜2m＋2时，m＝1或2．
当m＝1时，＝0无解，
当m＝2时,＝无解．
综上即在数列{bn}中又在数列{cn}中的项仅有b3＝c3＝．
【说明】本题考查数列的综合运用． 第(2)问考查an与Sn的关系，体现数列中最重要的数学思想方法；第(3)问考查学生从函数和集合论的角度看数列，自觉研究数列性质的能力，{cn}单调递减趋向1，{dn}单调递增趋向2，所以{cn}与{dn}的公共项只有可能在前面若干项中产生,经过列举可发现c3＝d3＝，所以可以为分界的数，来找{cn}与{dn}的公共项．

数学II（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，
圆的弦交圆于点（不在上），
求证：为定值。
证明：由弦切角定理可得
B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，向量，求向量，使得．
设，由得：，

C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
2.已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求与交点的极坐标().
【答案】解:(1)将,消去参数t,化学普通方程,
即 ,
将
;
所以极坐标方程为
.
(2)的普通方程为,

所以交点的极坐标为.
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
解析：原不等式等价于：，解集为
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。
22. （本小题满分10分）
如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长。
解析：以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，
DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，
设M(0，1,z),
面MDN的法向量，

设面A1DN的法向量为，则
取即
(1)由题意：
取

（2）由题意：
即取

23．（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
解析：（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。

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