八年级数学矩形与菱形性质及判定、练习题.doc

矩形
一、 矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．
2：矩形对角线相等．
（1）边：对边平行且相等（共性）
（2）角：四个角都是直角 （个性）
（3）对角线 互相平分（共性）
相 等（个性）
（4）对称性 中心对称图形（共性）
轴对称图形（个性）
矩形判定　1．有一个角是直角的平行四边形是矩形
　 2．对角线相等的平行四边形是矩形
　　 3．有三个角是直角的四边形是矩形

（四个内角都相等的四边形为矩形
　 　 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
　 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形）

菱形：1、菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：
①菱形的四条边都相等
②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
2、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
3、菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。
菱形的判定方法
一．（定义）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
二．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
三．四条边都相等的四边形是菱形；
四．每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
正方形：
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
正方形的性质：
　　１. 正方形的四条边相等，对边平行。（边）
　　２. 正方形的四个角都是直角。（角）
　　３. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线）
正方形的判定：１.有一个角是直角的菱形是正方形。
２.有一组邻边相等的矩形是正方形。

一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是…………（ ）
A．24cm2 B．32cm2 C．48cm2 D．128cm2
2．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是…………………………………（ ）
A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分
3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是……………………………………（ ）
A．矩形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．平行四边形
4．下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是………………………………………（ ）
A．□ ABCD中，AB=BC B．□ ABCD中，AC⊥BD
C．□ ABCD中，AC=BD D．□ ABCD中，AC平分∠BAD
5．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是……………………（ ）
A．13 B．6 C．6.5 D．6.5或6
6．菱形和矩形都具有的性质是 ……………………………………………………………（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
7．已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC,∠ADE=∠CDE,那么∠BDC等于…………（ ）
A．60° B．45°
C．30° D．22.5°
8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为………………………（ ）
A． B．
C． D．
9．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为…………………………（ ）
A．1:2:3 B．1:2:1
C．1::2 D．1::1

10．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，
∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1
处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、专心填一填（每小题3分，共30分）
11．若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为 ．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，使它成为矩形的条件可以是　　　　 ．
13．若矩形短边长4cm，两对角线的夹角为60度，则对角线长是 cm．
14．如图，在菱形ABCD中,∠BAD=80度，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，
连接DF，则∠CDF的度数为 ．

（第12题图） （第14题图） （第16题图） （第17题图）
15．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ．
16．如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=1.5，则斜坡的坡长 ．
17．如图，在扇形中，∠AOB=90度，OA=5，C是弧AB上一点，且CD⊥OB，CE⊥OA，垂
足分别为点D、E，则DE= ．
18．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点B的坐
标为 ．
19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离
则 度．
x
y
O
C
B
A

（第18题图） （第19题图） （第20题图）

20．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知
∠BAD=30°则重叠部分的面积是 cm．
三、耐心做一做（本题有5小题，共40分）
21．（本题6分）已知：如图所示，在矩形ABCD中，AF＝BE．
求证：DE＝CF．

22．（本题8分）如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，．
O
D
C
B
A

（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求 AC的长（结果可保留根号）．

23．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD,
若∠EAO=15°,求∠BOE的度数．

24．（本题8分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是
．
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是 ．
①

25．（本题10分）已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想．
（2）求折痕EF的长．

26、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？

27、（2010肇庆）如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．
A
D
E
F
C
G
B

（1）求证：；
（2）求证：．

28. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

参考答案
一、选择题
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
C
B
C
D
D
C

二、填空题
11、22cm或26m
12、AC=BD或 ∠ABC=90度（或其他三个角也可以）
13、8
14、60度
15、矩形
16、1：2
17、5
18、（+1，1）
19、120度
20、2
三、解答题
21、略
22、（1）略
（2）AC=6
23、75度

解：方法1：设AB=1，
∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，
∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=1，AE= ，AC=2，
∴ ，
∵∠OAE=∠EAC，
∴△AOE∽△AEC，
∴∠AEO=∠ACE=30°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，
∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，
∴∠BEO=75°．
方法2：：∵ABCD为矩形，∴∠BAD=90°
∵ABCD相交于O点，∴AO=CO=BO=DO
∵AE平分∠BAD交BC于E点∴∠BAE=∠EAD=45°
∵∠EAC=15°∴∠BA0=60°
∵AO=BO
∴∠ABO=60°
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°∴∠AOB=60°
∴△AOB为等边三角形
即AB=OA=BO
又∵∠ABC=90°∠EAB=45°
∠ABC+∠EAB+∠BEA=180∴∠BEA=45°
∴△ABE为等腰直角三角形
∴BE=BA
∵BE=BA而BA=BO∴BE=BO
即△OBE为等腰三角形
∵∠ABC=90°∠ABO=60°
∴∠OBE=30°
∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．
故∠BOE的度数75°．
24、（2）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）矩形，有一个为直角的平行四边形为矩形。
25、（1）菱形，可证四边形AECF的四边相等。
（2）
26、解：由勾股定理得
SA+SB+SC+SD=S最大正方形=49．

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