2020-2021学年广东省广州市高三（下）2月区统考数学试卷（含答案）.docx

2020-2021学年广东省广州市高三（下）2月区统考数学试卷一、选择题1. 若P=x|x1，则( ) A.PQB.QPC.RPQD.QRP2. 设复数 z1=i1+i,z2=z1i，z1，z2 在复平面内所对应的向量分别为 OP， OQ（O为原点），则OPOQ=（ ） A.12B.0C.12D.223. 从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是( ) A.20B.40C.60D.1204. 已知(0,)，sin(+3)=35，则cos(2+6)=( ) A.2425B.2425C.725D.7255. 九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23，弦长为403米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )平方米（其中3，31.73） A.14B.16C.18D.206. 已知平面，和直线l，则“/”的充分不必要条件是（ ） A.内有无数条直线与平行B.内的任何直线都与平行C.且D.l且l7. 已知抛物线C：y2=2pxp0的焦点为F，A，B（其中点A在第一象限）两点在抛物线C上，且满足AF+2BF=0，则直线AF的斜率为（） A.22B.22C.24D.248. 函数fx=k=120211x+k2022x+1011的零点个数为（） A.2022B.2021C.0D.以上都不正确二、多选题 函数fx=lnxx12ax2a0，则下列说法正确的是( ) A.若a=2，则函数fx在1,5上单调递增B.若a=2，则函数fx在1,5上单调递增C.若函数fx在1,5上单调递减，则a0,+D.若函数fx在1,5上不单调，则a14,0 对于直线l：t+2x+2t3y5t3=0和圆C：x12+y+12=9，下列结论中正确的是（） A.当t=2时，l与C相交B.tR，l与C相交C.存在tR，使得l与C相切D.如果l与C相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值 对于三棱锥ABCD，下列结论正确的是( ) A.若这个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，则其外接球表面积为14B.若AB=CD=2，AC=BD=23，BC=4，则三棱锥ABCD的外接球表面积为16C.若这个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长都为2，则其内切球半径为3266D.若这个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长都为2，则其内切球球心与外接球球心之间的距离为22 已知正数列an满足： an+1=an2an+1，则下列结论中正确的是（） A.数列an不可能是等差数列B.数列an一定是递增数列C.当a2=74时，不等式k=1n1ak2成立D.当a3=3716时，不等式11a1+1a2+k=3n1ak2成立三、填空题 函数fx=|sinx+cosx|的最小正周期为_. 若XBn,p，且满足EX=2，DX=43，则概率p等于_. x2x26的展开式中，含x5项的系数为_. 双曲线x2y27=1的右焦点为F1，点A的坐标为0,1，点P为此双曲线左支上的动点，则APF1周长的最小值为_. 四、解答题 锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a=21,ABC的外接圆半径为7.在cb=1，sinC=32sinB，asinA+B2=csinA，在这三个条件中任选一个，求ABC的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 已知数列an满足a1=3，其前n项和为Sn，且满足Sn+12=an+1Sn+13 (1)求数列an的通项公式； (2)若bn=12nS3n1，数列bn前n项和为Tn,Tnb0的面积为23，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形 (1)求椭圆E的标准方程; (2)设椭圆E与x轴的两个交点分别为A1,A2，左焦点为F，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上， QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明： FMN的周长为定值 已知函数fx=axlnx+1，gx=1x+11ex. (1)讨论fx的单调性； (2)若fxgx对任意x0,+恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高三（下）2月区统考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出QCRP【解答】解： P=x|x1， QRP，故选D2.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：z1=i1+i=i(1i)1i2=ii22=12+12i，z2=z1i=12i+12i2=12+12i，所以P(12,12)，Q(12,12)，所以OPOQ=1212+1212=0.故选B.3.【答案】C【考点】排列、组合的应用【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可【解答】解：由题意可分成两类：1，一名教师和三名学生，共C31C53=30，2，两名教师和两名学生，共C32C52=30，故不同的选派方案的种数是30+30=60.故选C.4.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系诱导公式二倍角的正弦公式【解析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化【解答】解：设=+3，则sin=35，=3. (0,)， +3(3,43)，即(3,43). sin=35(12,22)， (6,4)（舍）或(34,56)，则cos=45.则cos(2+6)=cos(223+6)=cos(22)=sin2=2sincos=2(45)35=2425.故选B.5.【答案】B【考点】扇形面积公式【解析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可【解答】解：扇形的半径为r=12403sin3=40，所以扇形的面积为232402=16003，又三角形的面积为12sin23402=4003,所以弧田的面积为1600340031600334001.73=908m2，又圆心到弦的距离等于40cos3=20，所以矢长为4020=20，按照上述弧田的面积经验公式计算可得12（弦矢+矢矢）=1240320+202892m2，所以两者的差为908892=16m2.故选B6.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及充分必要条件的判定逐一核对四个选项得答案【解答】解：由内有无数条直线与平行，不能得到/，故A不是/的充分条件；由内的任何直线都与平行，可得/，反之，由/，可得内的任何直线都与平行，故B是/的充分必要条件；由且，不能得到/，故C不是/的充分条件；由l且l，得/，反之，由/，不一定有l且l，故D是/的充分不必要条件.故选D.7.【答案】A【考点】抛物线的性质直线与抛物线的位置关系【解析】利用直线与抛物线的位置关系，结合向量的坐标运算进行求解即可.【解答】解：由题意可得抛物线的焦点Fp2,0，准线方程为：x=p2，由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x=my+p2，设Ax1,y1，Bx2,y2，直线与抛物线联立y2=2px,x=my+p2,整理可得：y22mpyp2=0， y1+y2=2mp，y1y2=p2， AF=2FB， p2x1,y1=2x2p2,y2，可得y1=2y2，即y1=2y2，代入可得：2y2+y2=2mp,2y2y2=p2,即y2=2mp,y22=p22, y2=22p， x2=y222p=p222p=p4， kAF=kBF=y2x2p2=22pp4p2=22， 直线AF的斜率为22.故选A8.【答案】A【考点】函数的零点函数零点的判定定理根的存在性及根的个数判断函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：根据所学到的函数知识画出如下三种函数的图象：函数y=1x+1的图象为：函数y=1x+1+1x+2的图象为：函数y=1x+1+1x+2+1x+3的图象为：观察不难发现项数为奇数和偶数的情况下，函数的性质相关联的因素并不完全相同，因为2021是奇数，所以我们从第三个图研究就可以解决本题中的函数fx的图象及其性质观察第三个图，不难发现三条垂直于x轴的渐近线中，中间那条直线与x轴的交点2,0就是其图象的对称中心，进而得出图象向右平移两个单位后得到的函数即为奇函数，而方程fx=mx+2的解的个数，观察图象即可得出当m0时，有两个解，当m0时，有四个解以此类推，对于本题中的函数fx的图象一定有2021条垂直于x轴的渐近线，而位于中间的渐近线与x轴的交点1011,0是其对称中心进而不难推出选项A是正确的 .故选A.二、多选题【答案】B,C,D【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，带入a验证可判断出A不正确，B正确，分离参数再判断出C,D正确即可得解.【解答】解：因为f(x)=lnxx12ax2(a0)，函数的定义域为x|x0，所以f(x)=1x1axx0，A，当a=2时，f(x)=1x12x，令f(x)=0，得x=12或x=1(舍去)，当x12时，f(x)0恒成立，所以函数fx在定义域上单调递增，故B正确；C，若函数fx在1,5上单调递减，令f(x)=1x1ax1x21x,令gx=1x21x，则gx=2x3+1x2,令gx=0，则x=2，当2x0，此时函数gx在2,5单调递增，当1x2时，gxgxmax=g1=0，故C正确；D，因为函数fx在1,5上不单调，所以fx=0在1,5上有解，即a=1x21x=1x12214在1,5有解，令mx=1x21x,x1,5，则14mx0，所以a的取值范围是14,0，故D正确故选BCD.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知AB正确，C错误；如果l与C相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与CP垂直的弦，故D正确.【解答】解：对于直线l：t+2x+2t3y5t3=0，可化为(x+2y5)t+(2x3y3)=0，由x+2y5=0，2x3y3=0，可得x=3，y=1， 直线恒经过定点P3,1， P3,1在圆C：x12+y+12=9内部， 直线l与圆C相交，故AB正确，C错误；如果l与C相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与CP垂直的弦，故D正确.故选ABD.【答案】A,B,C,D【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】直接判断外接球，内切球，确定答案即可.【解答】解：A，由题意可知，该三棱锥的外接球半径r=1212+22+32=1214，则其外接球表面积为4r2=412142=14，故A正确；B，由题意得，AB2+AC2=BC2，则ABC为直角三角形，CD2+BD2=BC2，则BCD为直角三角形，则三棱锥的外接球半径为12BC=124=2，则其外接球的表面积为4r2=44=16；C，三棱锥的体积V=1312222=23，三棱锥的表面积为S=12223+1223=3+3，设内切球半径为r，则V=13Sr，则r=3VS=23+3=3266，故C正确；D，如图，设O1为内切球圆心，O2是外接球圆心则内切球半径为r1=3V体积S表面积=3131222231222+122232=23+3=3266，则内切球圆心到点B的距离为132+2+2r1=633266=6222，则外接球半径r2=122+2+2=62，则O1O2=r2132+2+2r1=22，故D正确.故选ABCD.【答案】C,D【考点】等差数列的性质数列的函数特性数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解： an+1=an2an+1an+1an=an12，排除AB，构造数列1an的可求和的结构，根据an+1=an2an+1an+11=anan11an=an1an+11及前面构造的an+1an=an12，可以得到：1an=an1an+11=an12an+11an1=an+1anan+11an1=1an11an+11a2=74=a12a1+1a1=32或a1=12，又 数列an是正数列，进而求得a1=32， k=1n1ak=k=1n1ak11ak+11=1a111an+11=21an+111成立，故D正确故选CD.三、填空题【答案】【考点】三角函数的周期性及其求法辅助角公式【解析】先利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用y=|sin(x+)|的最小正周期为T=|进行求解即可.【解答】解： f(x)=|sinx+cosx|=|2sin(x+4)|， 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为T=1=.故答案为：.【答案】13【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由XBn,p，且EX=2，DX=43，列出方程组，能求出p【解答】解： XBn,p，且EX=2，DX=43， np=2,np(1p)=43,解得n=6，p=13.故答案为：13.【答案】252【考点】二项式定理的应用二项展开式的特定项与特定系数【解析】根据二项式展开式的通项公式的知识解答即可【解答】解：因为x2x26=x26x+16，所以x2x26的展开式中含x5的项为：C61x521C66+C62x422C65x+C63x323C64x2+C64x224C63x3+C65x25C62x4+C6626C61x5=252x5，所以x2x26展开式中含x5项的系数是252.故答案为：252【答案】8【考点】双曲线的定义双曲线的应用【解析】直接利用双曲线的定义，将三角形的周长转化，即可利用三点共线，得出答案.【解答】解：如图，则周长为|AP|+AF1+|PF1|，a=1,b2=7，c=22，设左焦点为F2，由双曲线定义得，PF1PF2=2，则PF1=2+PF2， 周长为|AP|+AF1+|PF2|+2，又AF1=AF2=OA2+OF12=1+8=3，则周长为|AP|+|PF2|+5，故当A，P，F2三点共线时，周长最小，故最小值为|AP|+|PF2|+5=|AF2|+5=8.故答案为：8.四、解答题【答案】解：由正弦定理asinA=2r得sinA=32，又A0,2，故A=3，若选，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA得21=b2+b+122bb+112，解得b=4，故c=5，所以SABC=12bcsinA=124532=53，若选，由正弦定理及sinC=32sinB得c=32b，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，得21=b2+32b22b32b12，解得b=23，故c=33，所以SABC=12bcsinA=12233332=932，若选，由asinA+B2=csinA及正弦定理得sinAsinC2=sinCsinA，所以sinC2=sinC，即cosC2=sinC=2sinC2cosC2，又C0,2，所以sinC2=12，C2=6，即C=3，又A=3，故ABC为等边三角形，所以SABC=12bcsinA=12212132=2134.【考点】正弦定理余弦定理解三角形【解析】由正弦定理|asinA=2r得sinA=32，又A0,2，故A=3，若选，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA得21=b2+b+122bb+112，解得b=4，故c=5，所以SABC=12bcsinA=124.532=53，若选，由正弦定理及sinC=32sinB得c=32b，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA得21=b2+32b22b32b12，解得b=23，故c=33，所以SABC=12bcsinA=12233332=932，若选，由asinA+B2=CsinA及正弦定理得sinAC2=sinCsinA，所以sinc2=sinC，即cosc2=sinC=2sinc2cosc2，又C0,2，所以sinC2=12，c2=6，即C=3，又A=3，故ABC为等边三角形，所以SABC=12bcsinA=12212132=21+34.【解答】解：由正弦定理asinA=2r得sinA=32，又A0,2，故A=3，若选，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA得21=b2+b+122bb+112，解得b=4，故c=5，所以SABC=12bcsinA=124532=53，若选，由正弦定理及sinC=32sinB得c=32b，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，得21=b2+32b22b32b12，解得b=23，故c=33，所以SABC=12bcsinA=12233332=932，若选，由asinA+B2=csinA及正弦定理得sinAsinC2=sinCsinA，所以sinC2=sinC，即cosC2=sinC=2sinC2cosC2，又C0,2，所以sinC2=12，C2=6，即C=3，又A=3，故ABC为等边三角形，所以SABC=12bcsinA=12212132=2134.【答案】解：(1)由an+1=Sn+1Sn，则Sn+12=an+1Sn+13=Sn+1SnSn+13，化简得：Sn+12=Sn+123Sn+1SnSn+1+3Sn，即SnSn+1=3Sn3Sn+1，由题意Sn+1Sn0，则13=1Sn+11Sn，又1S1=13，则1Sn是首项为13，公差为13的等差数列，则1Sn=13+n113=n3，即Sn=3n，n2时，an=SnSn1=3n3n1，综上，an=3，n=1,3n3n1，n2.(2)bn=12nS3n1=3n132n=133n112n，Tn=132(12)1+5(12)2+8(12)3+(3n4)(12)n1+(3n1)(12)n，12Tn=132(12)2+5(12)3+8(12)4+(3n4)(12)n+(3n1)(12)n+1，两式相减得：12Tn=13+133122+123+12n133n1(12)n+1，12Tn=13+122+123+12n133n1(12)n+1=13+14(112n1)11213(3n1)(12)n+1=5612n133n112n+1=563n+532n+1则Tn=533n+532n53，所以m53【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由an+1=Sn+1Sn，则Sn+12=an+1Sn+13=Sn+1SnSn+13，化简得：Sn+12=Sn+123Sn+1SnSn+1+3Sn，即SnSn+1=3Sn3Sn+1，由题意Sn+1Sn0，则13=1Sn+11Sn，又1S1=13，则1Sn是首项为13，公差为13的等差数列，则1Sn=13+n113=n3，即Sn=3n，n2时，an=SnSn1=3n3n1，综上，an=3，n=1,3n3n1，n2.(2)bn=12nS3n1=3n132n=133n112n，Tn=132(12)1+5(12)2+8(12)3+(3n4)(12)n1+(3n1)(12)n，12Tn=132(12)2+5(12)3+8(12)4+(3n4)(12)n+(3n1)(12)n+1，两式相减得：12Tn=13+133122+123+12n133n1(12)n+1，12Tn=13+122+123+12n133n1(12)n+1=13+14(112n1)11213(3n1)(12)n+1=5612n133n112n+1=563n+532n+1则Tn=533n+532n1，若a0，fx0，令fx=0，得x=1aa=1a11，则在x1,1aa上fx0，fx单调递增(2)gx=1x+11ex=exx+1exx+1，令x=exx+1,x0,+,x=ex10，所以x在x0,+上单调递增，所以x0=0，所以exx+1，gx=exx+1exx+10在x0,+上恒成立；若a0,f1=aln20，不合题意；若0a1，由(1)知，fx在0,1aa上单调递减，所以f1aa11x+1+1(x+1)21x+1=(x+1)22(x+1)+1(x+1)2=x2(x+1)20，所以Gx在x0,+上单调递增，GxG0=0，满足题意.综上所述a1,+)【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)fx=a1x+1=ax+a1x+1x1，若a0，fx0，则f