2022年广东省广州市广州大学附属中学集团中考数学模拟试卷（含答案）.docx

2022年广东省广州大学附中中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是　　
A． B．2 C． D．
2．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为　　
A． B．
C． D．
3．（3分）在某学校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，它们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前3名，不仅要知道自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（3分）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为　　

A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长）可以表示为　　

A．米 B．米 C． 米 D．米
7．（3分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当时，随的增大而增大．
则这个函数表达式可能是　　
A． B． C． D．
8．（3分）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为　　

A． B． C． D．
9．（3分）若关于的分式方程有增根，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．0
10．（3分）抛物线，，为常数）开口向下且过点，，，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 　　．
12．（3分）若单项式与是同类项，则的值为　　．
13．（3分）将半径为，弧长为的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为　　．
14．（3分）如图，，分别切于点，，，则　　．

15．（3分）关于的不等式组恰有2个整数解，则的取值范围是 　　．
16．（3分）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动，与点，不重合），点是的中点，过点作于，若，，则的最大值是 　　．

三、解答题（共9小题；共72分）
17．（4分）计算：．
18．（4分）已知：如图，矩形中，交于，且，于．
求证：．

19．（6分）已知．
（1）化简；
（2）若点在一次函数的图象上，求的值．
20．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：
等级
成绩
人数

15

18

7
（1）表中　　；扇形统计图中，等级对应的扇形圆心角为度 　　；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有 　　人；
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人都未被选中的概率．

21．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数的值．
22．（10分）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量（件与售价（元件）为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（元件）
4
5
6
（件
10000
9500
9000
（1）求与的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出的取值范围．
24．（12分）如图，矩形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，．连结，作点关于直线的对称点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围．

25．（12分）抛物线经过点，与它的对称轴直线交于点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1，过定点的直线与抛物线交于点、．若的面积等于3，求的值；
（3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．点为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点恰有2个，求的值及相应点的坐标．

2022年广东省广州大学附中中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是　　
A． B．2 C． D．
【分析只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：的相反数是．
故选：．
2．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
3．（3分）在某学校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，它们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前3名，不仅要知道自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数的意义，将自己的成绩与中位数比较，若大于或等于中位数，进入前3名，否则就进入不了前3名．
【解答】解：将7人的成绩从小到大排列后，处在第4名学生成绩，是这组数据的中位数，
在知道自己成绩的同时，若再知道中位数，比较自己的成绩与中位数的大小，就可以知道自己是否进入前3名，
故选：．
4．（3分）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为　　

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，底层有3个正方形，上层右边有一个正方形．
故选：．
5．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据积的乘方、幂的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式解答即可．
【解答】解：，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；
，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
故选：．
6．（3分）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长）可以表示为　　

A．米 B．米 C． 米 D．米
【分析】在直角三角形中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长．
【解答】解：在中，
，，
，
，
，
即河宽米，
故选：．
7．（3分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当时，随的增大而增大．
则这个函数表达式可能是　　
A． B． C． D．
【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
【解答】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项不符合题意．
故选：．
8．（3分）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】由作法得，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质计算的度数．
【解答】解：由作法得，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
9．（3分）若关于的分式方程有增根，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．0
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【解答】解：方程两边都乘，
得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得：，
当时，，
故选：．
10．（3分）抛物线，，为常数）开口向下且过点，，，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线经过可得，由时可推出，，从而判断①②，由及可判断③，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断④．
【解答】解：抛物线经过，
，
，
抛物线开口向下，，
时，，
，
，①正确．
，
，即，
，②正确．
抛物线开口向下，
，
，，，
，③正确．
若有两个不相等的实数根，
则，有两个不相等的实数根，
抛物线开开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于1，
即，
，④正确．
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 　　．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：，
故答案为：．
12．（3分）若单项式与是同类项，则的值为　2　．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出，的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，，
解得，
所以，
．
故答案是：2．
13．（3分）将半径为，弧长为的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为　　．
【分析】利用扇形的弧长和母线长求得扇形的弧长，并利用圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，在根据圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，利用勾股定理求得高，用高除以母线长即可得到正弦值，即可得到结论．
【解答】解：扇形的半径为12，弧长为，
圆锥的底面半径，
圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
圆锥的母线与圆锥底面的夹角的余弦值是，
则圆锥的母线与圆锥底面的夹角为，
圆锥的母线与圆锥高的夹角为，
故答案为：．
14．（3分）如图，，分别切于点，，，则　　．

【分析】由切线的性质得到，，由等腰三角形的性质求得，即可求出．
【解答】解：，分别切于点，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（3分）关于的不等式组恰有2个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有2个整数解，
，
解得．
故答案为：．
16．（3分）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动，与点，不重合），点是的中点，过点作于，若，，则的最大值是 　4　．

【分析】延长交于，连接．利用三角形的中位线定理证明，当是直径时，的值最大．
【解答】解：如图，延长交于，连接．

是直径，，
，
，
，
当是直径时，的值最大，最大值，
故答案为：4．
三、解答题（共9小题；共72分）
17．（4分）计算：．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式、三角函数化简4考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：

．
18．（4分）已知：如图，矩形中，交于，且，于．
求证：．

【分析】根据已知及矩形的性质利用判定，从而得到，因为，所以．
【解答】证明：．
．
在矩形中，，．
．
．
．
．
．
．
．
19．（6分）已知．
（1）化简；
（2）若点在一次函数的图象上，求的值．
【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）把坐标代入一次函数解析式求出的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）；
（2）在一次函数的图象上，
，即，
则．
20．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：
等级
成绩
人数

15

18

7
（1）表中　20　；扇形统计图中，等级对应的扇形圆心角为度 　　；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有 　　人；
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人都未被选中的概率．

【分析】（1）由等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，用总人数减去其它等级的人数，求出，再用乘以等级所占的百分比，求出等级对应的扇形圆心角度数；用全校的总人数乘以成绩为等级的学生所占的百分比，即可得出答案；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：（人，
，
等级对应的扇形圆心角为：，
估计成绩为等级的学生共有：（人，
故答案为：20，，450；

（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有2种，
则甲、乙两人都未被选中的概率．
21．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，则，然后利用两根为整数确定整数的值．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得；
所以实数的取值范围为；
（2）设，是方程的两根，
根据题意得，，解得，
而，
所以的取值范围为，
因为为整数，
所以或，
当时，方程两根都是整数；当时，方程两根都不是整数；
所以整数的值为1．
22．（10分）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半径，
与相切；
（2），，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．

23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量（件与售价（元件）为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（元件）
4
5
6
（件
10000
9500
9000
（1）求与的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出的不等式组，求得的取值范围，再设利润为元，由，列出关于的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润关于售价的函数解析式，再根据函数的性质，列出的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）设与的函数关系式为：，
把，和，代入得，
，
解得，，
；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，，
设利润为元，根据题意得，
，
，
当时，随的增大而增大，
，且为正整数
当时，取最大值为：，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，，
对称轴为，
，
当时，随的增大而增大，
该商场这种商品售价不大于15元件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
，解得，
，
．
24．（12分）如图，矩形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，．连结，作点关于直线的对称点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围．

【分析】（1）由题意得点在上，根据含直角三角形的性质即可求解；
（2）由对称可得是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含直角三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出、、的值，即可得出的值，结合（2）中求得的的值即可得出答案．
【解答】解：（1）点、点关于直线的对称，，
点在上，

四边形是矩形，
，
，．
，
点是边的中点，
，
，
；
（2）①如图2，

，．
，
由对称可得，平分，
，
是等腰三角形，
，
，．，
，
，
，
；
②如图3，

，．
，
由对称可得，，，平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，．，
，
；
的长为2或6；
（3）由（2）得，当时，（如图或6（如图，
当时，
第一种情况，如图4，

平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，，
；
第二种情况，如图5，

平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，，
，
最大值为8，
．
综上，长的取值范围为或．
25．（12分）抛物线经过点，与它的对称轴直线交于点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1，过定点的直线与抛物线交于点、．若的面积等于3，求的值；
（3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．点为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点恰有2个，求的值及相应点的坐标．

【分析】（1）根据对称轴为直线且抛物线过点求解可得；
（2）根据直线知直线所过定点坐标为，从而得出，由得出，联立直线和抛物线解析式求得的值，根据列出关于的方程，解之可得；
（3）设抛物线的解析式为，．所以、、，分和两种情况，由对应边成比例得出关于与的方程，利用符合条件的点恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）抛物线过点、对称轴为，
，
解得．
抛物线的解析式为．

（2）如图1，设点、的横坐标分别为、，
延长直线交对称轴于点，
直线
．即直线所过定点．
．
．
．
．
．
联立方程组，得：
解得，

解得

．
（3）如图2，设抛物线的解析式为，
、、，
设，
①当时，，
，
①；
②当时，，
，
②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△，
解得：（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根，
方程②有一个实数根，
，
此时点的坐标为和；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：，
解得：（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根、，
方程②有一个实数根，
，此时点的坐标为和；
综上，当时，点的坐标为和；
当时，点的坐标为和．

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