数学选修21测试题含答案.doc

数学选修2-1 综合测评
时间：90分钟　满分：120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是(　　)
A. B．(－1，－3,2)
C. D．(，－3，－2)
解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0，a∥b⇔a＝λb，a＝(1，－3,2)＝－1，故选C.
答案：C
2．若命题p：∀x∈，tan x>sin x，则命题綈p：(　　)
A．∃x0∈，tan x0≥sin x0
B．∃x0∈，tan x0>sin x0
C．∃x0∈，tan x0≤sin x0
D．∃x0∈∪，tan x0>sin x0
解析：∀x的否定为∃x0，>的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈，tan x0≤sin x0.
答案：C
3．设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是(　　)
A．l⊂α，m⊂β且l∥β，m∥α
B．l⊂α，m⊂β且l∥m
C．l⊥α，m⊥β且l∥m
D．l∥α，m∥β且l∥m

解析：由l⊥α，l∥m得m⊥α，因为m⊥β，所以α∥β，故C选项正确．
答案：C
4．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由－＝1，得－＝1.
∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，
顶点坐标为(0,2)，(0，－2)．
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：D
5．已知菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离为(　　)
A. B. C. D.
解析：

菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则AC′⊥BD，沿AC折叠后，有BO⊥AC′，DO⊥AC，所以∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，即∠BOD＝60°.
因为OB＝OD＝，所以BD＝.
答案：B
6．若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)
A. B．2 C．3 D．6
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，故圆心(3,0)到直线y＝±x的距离等于圆的半径r，则r＝＝.
答案：A
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)
A. B. C. D.
解析：取，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)．故A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案：C
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B．2 C．4 D．8
解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
答案：C

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM内，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．
答案：A
10．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：由·＝0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2＝，设|PF2|＝s，则|PF1|＝2s，又|PF2|2＋|PF1|2＝4c2(c＝)，即4c2＝5s2，c＝s，而|PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝，∴e＝＝，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：原命题的否定形式为∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0，为真命题．即2x2－3ax＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
12．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则动点P的轨迹方程是__________．
解析：由·＝4得x·1＋y·2＝4，因此所求动点P的轨迹方程为x＋2y－4＝0.
答案：x＋2y－4＝0
13．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为_______．
解析：因为·＝·(＋)＝·＋·＝1××cos 45°＝1，又||＝1，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝.
答案：
14．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为__________．
解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，

AO＝a，OF＝c，
∴sin 30°＝＝＝.
∴e＝＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解：由于不等式|x－1|>m－1的解集为R，
所以m－1<0，m<1；
因为f(x)＝－(5－2m)x是减函数，
所以5－2m>1，m<2.
即命题p：m<1，命题q：m<2.
因为p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假．
当p真q假时应有m无解．
当p假q真时应有1≤m<2.
故实数m的取值范围是1≤m<2.
16．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝a2－c2＝1，
故椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．联立直线与椭圆的方程得即3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)>0，m2<3，所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，即M.又因为M点在圆x2＋y2＝5上，所以2＋2＝5，解得m＝±3与m2<3矛盾．∴实数m不存在．
17．(13分)已知点P(1,3)，圆C：(x－m)2＋y2＝过点A，点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线PF与圆相切．
(1)求m的值与抛物线的方程；
(2)设点B(2,5)，点Q为抛物线上的一个动点，求·的取值范围．
解：(1)把点A代入圆C的方程，得
(1－m)2＋2＝，∴m＝1.
圆C：(x－1)2＋y2＝.
当直线PF的斜率不存在时，不合题意．
当直线PF的斜率存在时，设为k，
则PF：y＝k(x－1)＋3，即kx－y－k＋3＝0.
∵直线PF与圆C相切，
∴＝.
解得k＝1或k＝－1.
当k＝1时，直线PF与x轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去．
当k＝－1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，
∴＝4.∴抛物线方程为y2＝16x.
(2)＝(－1，－2)，
设Q(x，y)，＝(x－2，y－5)，则
·＝－(x－2)＋(－2)(y－5)
＝－x－2y＋12＝－－2y＋12
＝－(y＋16)2＋28≤28.
∴·的取值范围为(－∞，28]．

18．(13分)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC.
(1)证明：AD⊥CE；
(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的余弦值．
解：

①
(1)证明：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点．以O为坐标原点，射线OC为x轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O－xyz.
设A(0,0，t)．
由已知条件知C(1,0,0)，D(1，，0)，E(－1，，0)，＝(－2，，0)，＝(1，，－t)，
所以·＝0，得AD⊥CE.
(2)作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，如图②所示．

②设F(x,0，z)，则＝(x－1,0，z)，＝(0，，0)，
·＝0，故CF⊥BE.
又AB∩BE＝B，
所以CF⊥平面ABE，
故∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF＝45°.
由CE＝，得CF＝.
又CB＝2，所以∠FBC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，因此A(0,0，)．
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE.
在Rt△ACD中，求得|AG|＝|AD|.
故G，＝，
＝.
又＝(1，，－)，·＝0，·＝0，
所以与的夹角等于二面角C－AD－E的平面角．
故二面角C－AD－E的余弦值cos〈，〉＝＝－.