数学思维训练教材四年级上册.doc

目 录

第1讲 平均数问题…………………………………………………… 1

第2讲 速算与巧算…………………………………………………… 3

第3讲 找规律………………………………………………………… 5

第4讲 变化规律……………………………………………………… 7

第5讲 算式谜（一）………………………………………………… 9

第6讲 算式谜（二）…………………………………………………12

第7讲 应用题…………………………………………………………15

第8讲 逻辑推理………………………………………………………17

第9讲 数数图形………………………………………………………21

第10讲 容斥原理………………………………………………………24

第11讲 简单的统筹规划问题…………………………………………27

第12讲 图形问题………………………………………………………31

第13讲 错中求解………………………………………………………34

第14讲 数学开放题……………………………………………………36

第15讲 数数与计数……………………………………………………40

终结性测试题一 ……………………………………………………… 44

终结性测试题二 ……………………………………………………… 46

第1讲 平均数问题
专题简析：
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。
例1：二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？
分析与解答：
因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵。
随堂练习：
电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台？
例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。
（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
或：150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
随堂练习：
五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？
例3：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
随堂练习：
小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度。
例4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？
分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分。
随堂练习：
小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分？
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。
随堂练习：
如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？
拓展训练
1、小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这五次考试的平均分数是多少。
2、二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人，平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵？
3、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。求一周的平均气温。
4、敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。
5、李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。
6、小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
7、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分？
8、某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。这个班有多少人？
9、如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？
10、如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？

第2讲 速算与巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。
例 1
计算：① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解：①式= 300-（73＋ 27）
　　＝300-100=200
　　②式=1000-（90＋80＋20＋10）
　　＝1000-200＝800
随堂练习：
计算：500-124-56 210-48-52
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例2
计算：① 4723-（723＋189） ② 2356-159-256
　解：①式=4723-723-189
　　＝4000-189=3811
　　②式=2356-256-159
　　＝2100-159
　　=1941
随堂练习：
计算：368-124-168 721-59-221
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。
例 3
计算：①506-397 ②467＋997
　解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上）
　　 =109
　　②式=467＋1000-3（把多加的3再减去）
　　＝1464
随堂练习：
计算：323-189 543＋198
拓展训练
1、用简便方法求差。
　　① 1870-280-520 ② 4995-（995-480）
　　③ 4250-294＋94 ④ 1272-995
2、用简便方法计算。
① 890-198 ② 365-296
　　③ 284＋97 ④ 342＋198
6、计算1032+1028+1033+1029+1031+1030
7、计算19998+39996+49995+69996
8、计算1208－569－208
9、计算283+69－183
10、计算2318+625－1318+375

第3讲 找规律
专题简析：
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
2、对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。
3、对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
例1根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
12
18
6
8
15
7
4

8
分析与解答：
经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。
随堂练习：找规律，在空格里填上适当的数。

9
16
7

8
17
5

4
12
9
16
21
5
10
11
9
6
24

4

9
12

16
7
35
30

例2：根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？

分析与解答：
经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：
5×12÷10=6 4×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24
随堂练习：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）

例3：先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。
12345679×9= 12345679×18=
12345679×54= 12345679×81=
分析与解答：
题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999
随堂练习：找规律，写得数。
1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9=
例4：找规律计算。
（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63
（2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45
（3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□
分析与解答：
经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。
63－36=（6－3）×9=3×9=27
随堂练习：利用规律计算。

（1）53－35 （2）82－28
例5：计算
（1）26×11 （2）38×11
分析：一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。
（1） 26×11=2（2+6）6=286
（2） 38×11=3（3+8）8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。
随堂练习：计算下面各题。
（1）27×11 （2）32×11
拓展训练
1、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）

（2）

2、找规律，写得数。
（1） 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111=
（2）19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9=
11116+9876×9= 111115+98765×9=
3、利用规律计算。
（1）92－29 （2）61－16 （3）95－59
4、找规律计算。
（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88
（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165
（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□
5、计算下面各题。
（1）39×11 （2）46×11
（3）92×11 （4）98×11

第4讲 变化规律
例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
分析与解答：
一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
随堂练习：
1，两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
2，两个数相加，一个数加3，另一个数也加3，和起什么变化？
例2：两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
分析与解答：
一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
随堂练习：
两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
例3：两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
分析与解答：
被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
随堂练习：
两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
例4：两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
分析与解答：
如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
随堂练习：
两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
例5：两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
分析与解答：
如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
随堂练习：
两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
拓展训练
1、两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？
2、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3、两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？
4、两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？
5、两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？
6、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
7、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？
8、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
9、两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化?

第5讲 算式谜（一）
专题简析：
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
例1：在下面算式的括号里填上合适的数。

分析与解答：
根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填2，并向十位进一；再看十位，（ ）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（ ）中只能填6，并向百位进1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是2，第二个加数的（ ）中只能填5，并向千位进1；因此，和的千位（ ）中应填8。
随堂练习：
（1） 在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。

例2：下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。

分析与解答：
先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代表6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1。
随堂练习：

例3：下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？

分析与解答：
这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0。确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十位上的情况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。
随堂练习：

例4：将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析与解答：
要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位数。显然，方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2×6=12（2将出现两次），2×5=10（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没有8），2×3=6（6不能成为商）。因此，0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得：3×4=12=6=÷5
随堂练习：
（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
例5：把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=15 21○3○5=□
分析与解答：
先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36×0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，题目要求在方框中填整数，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3与5之间填“－”。
随堂练习：
把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成立。
① 9○13○7=100 14○2○5=□
② 17○6○2=100 5○14○7=□

拓展训练
1、下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。

2、

3、

4、（1）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。
□÷□=□÷□
（2）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28。请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。

5、将1 ~ 9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□ □－□=□ □×□=□

第6讲 算式谜（二）
专题简析：
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；
2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；
4．算式谜解出后，要验算一遍。
例1：在下面的方框中填上合适的数字。

分析与解答：
由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
随堂练习：
在□里填上适当的数。

例2：在下面方框中填上适合的数字。

分析与解答：
由商的十位是1，以及1与除数的乘积
的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一
次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只
可能是7、8、9。如果是7，除数的个位是0，
那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的
个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
完整的竖式是：

随堂练习：
在□内填入适当的数字，
使下列除法竖式成立。

例3：下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？

分析与解答：
因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
随堂练习：
求下列各题中每个汉字所代表的数字。

例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
分析与解答：
先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如：123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。因为45与67相差22，8与9相差1，所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100
再比如：89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：123＋45－67＋8－9=100
随堂练习：
（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99（数字的顺序不能改变）。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
例5：在下面的式子里添上括号，使等式成立。
7×9＋12÷3－2 = 23
分析与解答：
采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减2，那么前面式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75，所以，应给前面两步运算加括号。
（7×9＋12）÷3－2 = 23
随堂练习：
在下面的式子里添上括号，使等式成立。
7×9＋12÷3－2 = 75
拓展训练
1、在□里填上适当的数。

2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。

3、（1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
（2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。
1 2 3 4 5 = 100
4、在下面的式子里添上括号，使等式成立。
（1）7×9＋12÷3－2 = 47
（2）88＋33－11÷11×2 = 5
第7讲 应用题
专题简析：
大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周，我们来学习一些需要较高解题技巧的应用题，它们的解题思路往往比较独特，并且容易做错。如：书本的页码问题，较复杂的植树问题，以及其他智巧问题。这些智巧问题正是训练你成为“小高斯”的好题目。
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字？
分析与解答：
从1到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数，它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页，要用9个数字；从第10页到第99页，要用2×90=180个数字；从第100页到153页，要用3×54=162个数字，所以，一共要用9＋180＋162=351个数字。
随堂练习：
一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字？
例2：排一本辞典的页码共用了2886个数字，这本辞典共有多少页？
分析与解答：
排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99页的页码，要用2×90=180个数字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字。2697÷3=899页，即页码是三位数的排了899页。这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页。
随堂练习：
排一本科幻小说的页码共用了270个数字，这本科幻小说共有多少页？
例3：两棵杨树相距75米，在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米？
分析与解答：
根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树，可知75米内共栽树14＋2=16棵，共有16－1=15段，每段长75÷15=5米而第1棵到第9棵之间有9－1=8段，所以，第9棵到第1棵之间相距5×8=40棵。
随堂练习：
两棵树相隔45米，在中间以相等距离增加8棵树后，第8棵与第1棵相隔多少米？
例4：一个圆形花坛，绕着它走一圈是90米，如果沿着它的周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻两株丁香花之间等距离地栽两株月季花。问丁香花和月季花各栽了多少株？
分析与解答：
在圆形花坛的周围栽花，栽丁香花的株数正好等于分成的段数，所以，丁香花栽了90÷6=15株。由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽两株月季花，所以月季花栽了2×15=30株。
随堂练习：
一个圆形花坛的周长是60米，沿着它的周围每隔3米插一面红旗每两面红旗中间插一面绿旗。红旗和绿旗各插了多少面？
例5：有80个零件，分装成8袋，每袋装10个。在其中的7袋里面装的零件每个都是50克，有一袋里面的每个零件都是49克。这8袋混在一起，你能用秤称一次，就把装49克重的零件的那一袋找出来吗？
分析与解答：
将8袋零件依次编上序号：1、2、3、4、5、6、7、8。从第1袋中取出1个零件，从第2袋中取出2个零件，…，从第8袋中取出8个零件，共取出1＋2＋3＋…＋8=36个零件，总重量应少于50×36=1800克。将这些零件放在秤上称一下，总重量比1800克少几克，第几号袋中装的零件就是49克的。
随堂练习：
60只橘子分装6袋，每袋装10只，其中5袋里装的橘子的重量都是50克，另一袋装的每只的重量都是40克。这6袋橘子混在一起，你能用秤称一次，就把装40克重的那一袋找出来吗？
拓展训练
1、一本辞典共1008页，编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
2、一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次？
3、排一本学生词典的页码，共用了3829个数字。这本词典共有多少页？
4、一本故事书的页码，用了39个0，这本书共有多少页？
5、两棵树相隔92米，在中间以相等距离增加22棵后，第10棵与第1棵间相隔多少米？
6、两盆花相隔12米，在中间以相等距离增加11盆花后，第9盆与第3盆花之间相隔多少米？
7、有一个圆形花圃，周长是120米，每隔6米栽一棵黄杨树，每两棵黄杨树之间等距离地栽3棵月季花。花圃周围栽了多少棵黄杨树？栽了多少棵月季花？
8、有一条公路长450米，在两旁栽树，两端各栽一棵，每隔18米栽一棵柳树，每两棵柳树之间以相等的距离栽了3棵槐树。柳树、槐树各栽了多少棵？
9、袋装的洗衣粉共有10堆（每堆不少于10袋），已知9堆是合格产品，每袋1千克，1堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形看不出。能否只称一次找出不合格产品？
10、有9只外形完全相同的乒乓球，其中8只是正品，另一只是次品，且正品与次品重量不相同。如果用天平（无砝码）称，至少几次可把次品找出来？

第8讲 逻辑推理
专题简析：
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：
1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；
4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？
分析与解答
我们用“＞”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。
兰兰＞静静 冬冬＞静静 冬冬＞兰兰
所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。
随堂练习
卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？
例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？

分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式想想某个汉字的对面不是什么字。
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。
从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。
随堂练习
下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？

例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？
分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。
随堂练习
已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？
分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析。

（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。
（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。
重新推理：

（1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。
随堂练习
甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。”有的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一盘。问小强已经赛了几盘？
分析与解答：用五个点表示这5个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘，由于D只赛了1盘，是和A赛的，所以B应该与C连。（B、A已连线）C已连了2条线，小强也连了2条线，所以小强已赛了2盘。

随堂练习
上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛了3场，辽宁队赛了2场，山东队赛了1场。问北京队赛了几场？
拓展训练
1、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师？
2、江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：
江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三个老师分别教什么科目？
2，一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗？