1、2011届高三数学小题精练05
1．在复平面内，复数对应的点位于
解：因所以对应的点在第四象限。
2．定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为
解：因，和为6．
3．若函数的值域是，则函数的值域是
解：.令，则，
4．在数列中，， ，则
解：，，…，．
5．函数在区间内的图象是
解：函数，选D
6．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
解：由题知垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则；又,所以
2、
7．连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动；
有下列四个命题：
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点
③的最大值为5 ④的最小值为1
其中真命题为
解：①③④正确，②错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则⊥，中，有，矛盾。当、、共线时分别取最大值5最小值1。
8．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为
3、
解：一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种，故所求概率为.
9．已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是
解：当时，显然不成立；
当时，因当即时结论显然成立；
当时只要即可即
则
10．直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，
则= ．
解：由已知得,则
11．不等式的解集为 ．
解：
12．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与
抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 ．
解：如图，分别过点向抛物线准线作垂线，垂足为；
过点作于。则，
，
又所以
1
4、3．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P；如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）；有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
解：真命题的代号是： BD 。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。
14．在中，角所对应的边分别为，，
，求及
解：由得；∴；∴
∴，又；∴；
由得 ；即；∴；
；由正弦定理得
15．数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；（2）求证.
解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得 故
（2）
∴
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