平面与平面垂直的判定——教学设计.docx

平面与平面垂直的判定
宫燕芳
【学情分析】
在本节内容之前，学生已经系统地学习了平行的相关判定与性质定理，通过类比，能较好地掌握垂直部分的主线，有宏观认识。但通过预习，学生对二面角及其平面角的概念理解不到位；虽然理解面面垂直的判定定理，但在具体问题中，不会熟练应用。
【教学目标】
知识与技能：
1.理解二面角及其平面角的概念；会找出二面角的平面角。
2.掌握两个平面垂直的判定定理，会利用该定理证明面面垂直。
过程与方法：
1.通过具体实例直观感知面面垂直的判定定理。
2.通过对例题的分析领会“线线垂直—线面垂直—面面垂直”中蕴含的转化与化归思想。
情感、态度和价值观：
1.面面垂直是立体几何的重要知识，是高考的考点；
2.通过定理的应用增强学生的空间想象能力以及逻辑推理能力。
【教学重点】
两个平面垂直的判定定理及利用该定理证明面面垂直
【教学难点】
利用两个平面垂直的判定定理证明面面垂直
【教学方法】
“大三步”教学法
【教学准备（用具）】
多媒体设备；PPT课件；简易二面角模型（纸张）
【教学课时】
一课时
【学生问题反馈】
1.如何理解二面角及其平面角的概念？
2.怎么运用面面垂直的判定定理进行证明（具体问题中如何解决）？
3.如何处理折叠后的垂直问题（导学案探究3）？
【教学过程】
一、 复习回顾（课前提问）
1. 什么叫做直线与平面垂直？
回答：一条直线与平面内的任意直线垂直。
2. 如何判定直线与平面垂直？
回答：这条直线与平面内的两条相交直线垂直。
二、 预习检测（对学生预习效果进行提问）
1.如何判定平面与平面垂直？
2.平面与平面垂直如何定义？
3.什么是二面角的平面角？
三、概念理解（教师讲解）
1.二面角
定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
强调：二面角不是角
记法：
举例：折回的纸张即为简易的二面角
——让二面角动起来，发现张口可大可小，为了刻画二面角的大小，引入二面角的平面角。
2.二面角的平面角
定义：在二面角的棱上任取一点O,以点0为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA、OB，这两条射线构成的角叫做二面角的平面角。
问：能否在两平面内随意找过点o的射线呢?
——不能，保证平面角的唯一性（垂直可以实现）
3.直二面角—平面角是直角的二面角
4.两个平面互相垂直
——两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角
设计意图：
通过对学生概念的提问，发现其对概念的理解并不到位，并且学生在问题反馈中也提到了对二面角及平面角概念的理解问题，此外，面面垂直就是由二面角是直二面角定义的，故要对这些基本概念进行简单介绍。前三个环节用时10分钟。
四、定理感知
根据面面垂直的定义，只要说明这个二面角的平面角是直角，但该定义法不常用，为更好地判断面面垂直，给出了面面垂直的判定定理。
面面垂直的判定定理：
若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言： 图形语言：

实质：由线面垂直推到面面垂直
生活实例感知：教室的门与地面是垂直的，在转动门时，门所在的每个平面都与地面是垂直的，因为门所在的平面都过这条垂直于地面的直线。

设计意图
通过对定理的重述，符号语言表述，学生更能领会到将面面垂直转化为线面垂直这一转化与化归思想。对生活中实际例子的表述，增强学生对定理的理解与感知。
五、定理应用（两位学生讲解—提前布置任务并对接）
例1（导学案第64页例2）
如图所示， 四边形是正方形，,
,求证：
.
学生分析

分析后板演过程：

总结：①熟练利用常见图形的性质；
②线线垂直——线面垂直——面面垂直
③线线垂直的方法：
涉及到数量——勾股定理
线线（异面直线）垂直——线面垂直
平行线段——转移证明
设计意图
该例题很好地体现了将面面垂直转化为线面垂直的思想，并且在证明线面垂直时，用到了利用平行线段，转移证明，在证明线线垂直时，又将其转化为线面垂直，思路有较多回合且直击学生思维弱点，最后板演整个证明过程，让学生规范步骤与书写。
例2（导学案例3—折叠后的垂直问题）

分析：①折叠问题明确折叠后什么没变，什么变了？
②要证明面面垂直，仍要找线面垂直，现在没有很直观的线，需要
利用性质找到线；
③等边三角形、等腰三角形三线合一的应用
过程：

总结：
①折叠问题，首先把握折叠后的不变量；
②看到等腰三角形，想到三线合一，取中点，有垂直；
③线线、线面、面面垂直间的相互转化。
设计意图
这两道题分配给表达能力强，数学思维不错的学生讲解，加上他们自己的润色与理解，更好地能切合学生自己思维特点，如何去想，如何才能很快将思路理清，最后教师再对方法做出总结归纳，给学生做此类题的思路。

六、课堂小结
1.线线垂直，线面垂直，面面垂直三者的转化及证明线线垂直的方法。
2.对常见图形的几何特征有熟练运用，如：正方形，菱形，等腰梯形等。
3.折叠问题找准不变量为之后的分析作铺垫。

【板书设计】
§2.3.2平面与平面垂直的判定
1.二面角 5.面面垂直的判定定理 例1
注： 符号语言：
1. 二面角的平面角
实质：
例2
2. 直二面角
3. 面面垂直

【教学反思】
上完本节课后，不足之处有以下三点：
其一，本节课开始后，因为提问学生的问题并不是很好表述而且学生自身对概念把握不到位，使得整堂课气氛在开始就略微沉重了些。在备课时，虽想过大家的回答必然是不完善的，由此才要引入对概念的理解，但是却忽略了学生的感受，备课时没有考虑好气氛沉下去要怎么办，是备课时的不周。
其二，概念讲解比较到位，但是在例题开发中，做得不太好，因为例1中其他学生有用到勾股定理证明线线垂直，这时更好地对教材的开发应该是再在另外一个面内找一条线，与原先的思路正好调个位，能加深拓宽学生对垂直证明的思路。之后的教学中需要加大对例题、教材的开发。
其三，时间把控不够好，因为例1有两位学生提出了他们自己的想法，并针对此做出点评，导致例2的讲解较为仓促，分析得不够到位，不够透彻，面对这种情况，与其潦草过去，不如留到下节课细讲。
在今后的教学中，备课要更细致，不光要备知识，因为教学机智不够，需要尽可能去想学生会出现什么样的状况，并提前做出方案。同时，加大对教材，例题的钻研力度，从有限的题目中挖掘出无限的价值。只有做好以上两点，才能有效地提高课堂效率，与学生在愉快轻松的合作氛围中教与学。