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数学要学什么？
宝鸡教育学院 任亚莉

内容摘要：数学伴随学生学校生活的每一天，每个人离不开数学学习。数学学习那些内容呢？本文从学习数字的写法和认识、数字运算，进而学习数学元素运算、学习数学语言、学习数学符号、数学表达、学习数学思想、数学方法、学习数学的推理等方面做一探讨。

关键词：数学学习、数字运算、语言符号、思想方法、推理

我们每一个人都要上学，从上学第一天开始进入学校，就有一门必不可少的课程，它伴随着学校生活的每一天。每一个人对它都是又恨又爱，他就是数学。为什么这门课的地位如此重要，每个人都非学不可，它到底学些什么呢？我认为主要有以下几点：
一、学习数字的写法和认识
人生的第一课就是老师教孩子写数字，认识0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.这是十个阿拉伯数字，因为有了它们，我们就可以写出任何想写出的生活数，它们的排列组合就是数的表达形式。那么这十个阿拉伯数字如何产生的呢？从它的由来说，它是古代印度人创造了阿拉伯数字，大约到了公元7世纪的时候，这些数字传到了阿拉伯地区。到13世纪时，意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》，在这本书里，他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来，这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲，欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的，所以便把这些数字叫做阿拉伯数字.以后，这些数字又从欧洲传到世界各国.阿拉伯数字传入我国大约是13到14世纪.由于我国古代有一种数字叫“筹码”，写起来比较方便，所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用。本世纪初，随着我国对外国数学成就的吸收和引进，阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用，阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。
学会了阿拉伯数数字的写法，就要学它们的组合，即一般数字写法，如345.76等等。这其中还有小数点，数学符号，写作“.”，用于在十进制中隔开整数部分和小数部分。小数点尽管小，但是作用极大。我们时刻都不可忽略这个小小的符号.因为这个不起眼的差错，让人类酿成过一个又一个悲剧。正可谓“差之毫厘，谬以千里”.
再有进位问题，进位在数学数字学习中是不可或缺的,数字的进位制是一种记数方式，所以也称进位记数法.它是由于计数数目的增大而产生的.逢n进一称为n进位制，例如逢十进一称为十进位制。
其次还有数字0的作用问题，因为0有重要作用，它是数目书写必须的，能起到占位用途，等等。
二、学习数字运算，进而学习数学元素运算
小学基本运算学的就是加、减 、乘、除，它们的符号写法是+、-、×、÷.那么什么是数字运算？数字运算就是在一个数域中，取二个数元，用运算符连在一起，规定它的运算结果是数域中唯一的一个数，这就是二元运算.这种运算是封闭的，运算结果必须在此数域中，如例一、35×20=700例二、34.5+21=55.5.
当有了一定的数字的运算基础，掌握了数字的运算性质，数学运算就要上升到字母代数中数学式运算，多项式的加减乘除、开方、幂、根式有理化等等，这种运算要求能运算下去，但是有时写出的确是无法运算的，它就是运算是否有意义问题。
例1：
例2：
例3：
例4：
这时，数学式的变形就成主要的，因为化成想要的简单的形式，就成解决问题的主要矛盾.它和数的运算区别在于，数的运算只是式的运算中赋予字母具体值，因此在数学式中，提炼的数学公式，只要所赋予的数放在那个位置，能运算下去，都是可行的。这就是数学公式的魅力所在。例1：
例2：在计算中，当赋予时， 无法计算。
当赋予其它任何不为1的数，这个数学式都可运算。
有了数学式的运算基础，进而我们可以学习数学元素的运算.例如对数运算、三角运算、指数运算、集合运算等等.
例1：计算
例2：设集合A=｛a,b,c,d｝,集合B=｛a,c｝,求A∩B,A∪B.
例3：计算等等。
三、 学习数学语言、数学符号、数学表达
1、什么是数学语言呢？从定义说数学语言是一种符号和图形，它以人工符号和图形表示数学中的各种量、量的关系、量的变化，在量之间进行推导和演算，以及图形和它们的位置关系.诚如斯托利亚尔所说：“数学教学也就是数学语言的教学”，学习数学在一定程度上可以说就是学习数学语言，学习数学的过程也就是数学语言不断内化、不断形成、不断运用的过程.学生准确灵活地掌握了数学语言，就等于掌握了进行数学思维、数学表达和交流的工具.掌握好数学语言，就等于掌握了描述科学和生产实践活动中的实际问题的工具，即数学化的手段。如果数学语言不过关，将难以阅读和交流，难以准确表达自己的思想，难以听懂、看懂别人用数学语言表达的观点。
例如：语言：“翻一番”、“增长一倍”、“降水概率为0.6”、“同比增长10%”等，它们是百分数中的数学语言。学生如果在数学语言表达（即数学化）方面能力缺乏，学生可能就只会死记硬背文字表达的概念定义、定理、法则，而不能将其符号化、形式化，不能把自然语言形式转化为符号语言或数学表示形式，将概念法则与公式沟通。
例2：余弦定理：在△ABC中，设三边长AB=c,AC=b,BC=a，三内角为A，B，C，则有.定理是说明三角形三个边长与一个角之间的四个量的等量关系。
例3：数学语言“a,b两数的倒数和”、“a,b两数和的倒数”。
这样的表达问题，不能再简化了。我们在学习数学语言时，数学语言及其自然语言之间的相互转换沟通是提高数学语言表达能力的正确途径。
例4：一个数的八分之七比二十四的三分之二多7.
它的算术式是
它的方程等式是
当然我们学习的数学语言要具有科学性、规范性、准确性、严谨性、逻辑性。
2、数学符号从定义上说：是由于研究的需要，人类创造了大量的数学符号，用来代替和表示某些数学概念和规律，简化数学研究工作，促进了数学的发展.
数学符号的产生，为数学科学的发展提供了有利的条件.首先，提高了计算效率.古时候，由于缺少必要的数学符号，提出一个数学问题和解决这个问题的过程，只有用语言文字叙述，几乎像做一篇短文，难怪有人把它称为“文章数学”.这种表达形式很不方便，严重阻碍了数学科学的发展.当数量、图形之间的关系能够用适当的数学符号表达后，人们就可以在这个基础上，根据自己的需要，深入进行推理和计算，因而能更迅速地得到问题的解答或发现新的规律。其次，缩短了学习的时间。初等数学发展到今天，已有两千多年的历史，内容非常丰富，而其中主要的内容今天能够在小学和中学阶段学完，这里数学符号是起一定作用的。例如，我们的祖先开始只有1、2少数几个数字的概念，而今天幼儿园的小朋友就能掌握几十个这样的数。分析原因，除了古今生活条件不同，人们的见识差别极大以外，今天已有一套完整的记数符号，人们容易掌握。第三、推动了深入的研究。我们研究数学概念和规律，不仅需要简明、确切地表达它们，而对它们内部复杂的关系，需要深人地加以探讨，没有数学符号的帮助，进行这样的研究是十分困难的。所以，数学符号的应用，是多快好省地研究数学科学的重要途径.我国宋朝著名科学家沈括曾经说过，数学方法应该“见繁即变，见简即用”.数学符号正是适应这种变“繁”为“简”的实际需要而产生的。
数学符号不仅随着数学发展的需要而产生，而且也随着数学的发展不断完善。比如，古代各民族都有自己的记数符号，但在长期使用过程中，印度──阿拉伯数码记数方法显示出更多的优点，因而其他的数码符号逐渐淘汰，国际上都采用了这种记数方法。
从类型说：中学数学需要学习以下几种数学符号：
1）、数量符号如3／4，圆周率π；a, x等.
2）、运算符号如加号（+），减号（-），乘号（×或·），除号（÷或-），比号（：） 等。交集（∩），并集（∪），补集（）等等.
3）、关系符号如“=”是“等号”，读作“等于”；“≈”或“=”是“约等号”读作“约等于”；“≠”是“不等号”。读作“不等于”；“＞”是“大于符号”，读作“大于”；“＜”是“小干符号”，读作“小于”；“∥”是“平行符号”，读作“平行于”；“⊥”是“垂直符号”，读作“垂直于”等。
4）、结合符号  如小括号（ ），中括号[ ]，大括号{ }。
5）、性质符号  如正号（+）、负号（-），绝对值符号（||）。
6）、简写符号  如三角形（△），圆（⊙），幂（）等。
3、数学表示：就是用数学语言书写数学问题的一种表达方式。数学学习离不开数学表达，对数学问题能写出正确简洁的数学表达是学好数学的关键。
例如数学问题：
四、 学习数学思想、数学方法
何谓思想呢？从定义，思，顾名思义去思考，思考即是人们的在经过大脑的逻辑思维后而产生的一种对自然、人类社会而得出的种种判断，而在人们脑中产生的这种判断我们可以称之为想，思想其实有着古朴的意解，也有着现时代的意义，但是意思是相近的，就是人们在脑中产生了对某事、某物产生的判断、思考在产生某种具有记载的时候我们称之为思想。
什么是数学思想呢？就是数学问题经过大脑的逻辑思维而产生的一种判断。即是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想的作用是用数学的方法解决现实生活中的实际问题，将实际问题模型化，因为数学具有将一些不同问题划归数学后，成为同一个数学模型，因而我们要学会数学地思考问题。
数学思想常见有：函数思想，它是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）或不等式（组）数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。，有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。数形结合思想，即利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。类比思想：即把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。极限思想：是用极限为工具研究函数的一种方式。等等
何谓方法？是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式
数学方法：即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。它有三个基本特征：首先是高度的抽象性和概括性；再是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；其次是应用的普遍性和可操作性. 另外数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：首先是提供简洁精确的形式化语言，再是提供数量分析及计算的方法，其次是提供逻辑推理的工具.
学习数学思想方法的作用是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助于现实原型使数学思想方法得以生动地表达，有利于对其深入理解和把握.并能将具体的数学知识凝结成优化的知识结构,不再成为孤立的零散的东西.他是数学的内在形式,是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具,在教学设计中是数学发展过程的模拟和简缩.数学思想方法也能使知识更容易理解、记忆，利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，较快提高学习质量和数学能力.
例如:数学类比思想应用在学习因式分解中.算术里学习分数时,为了约分与通分的需要,必须学习把一个整数分解成因数，类似地，代数里学完了整式四项运算就开始学习分式，为了约分与通分也必须学会把一个多项式分解因式如33=3×11.﹒.数学思想方法是对数学问题解决或建构所做的整体性考虑,他来源于现实原型,有高于现实原型,借助现实原型使数学思想方法得以生动的表现,有利于对其深入理解和把握.
五、 学习数学的推理、数学证明
数学通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进了数学本身的发展。由于推理含义是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。从而数学推理就是由一个或几个已知的数学条件（前提），推导出一个数学未知的结论的思维过程。例如几何问题中由几个公里推出数学定理，数学分析中四个定理“闭区间套定理”、“有限覆盖定理”、“单调有界定理”、“确界定里”互推问题都是推理。还有数学题的证明，数学问题的化简，推理无处不在.一个数学论证过程是由一系列数学基本推理构成的，因此，学习数学基本推理是分析数学论证过程的基础.数学基本推理中所涉及的数学基本概念包括数学语言、数学命题和数学定义，其中，数学语言是数学推理的工具，数学命题是数学推理的对象，数学定义是数学命题的基础.数学推理过程中需要把握三个基本原则，即同一律、矛盾律和排中律。数学推理模式本质上有两种，即演绎推理与归纳推理.
例如：亚里士多德给出的例子是：凡人都有死。苏格拉底是人。所以苏格拉底有死。
数学证明的作用1是核实．就是说，数学证明有助于核实真理．当我们证明了一个命题时，就确信它为真命题．这是证明的第一个作用，但不是惟一的，甚至还不是最重要的．2．理解．就是说，数学证明有助于增进理解．我们只有弄懂了一个命题的证明，才能真正理解该命题的内容．这是证明的第二个作用．正是通过证明，我们才理解命题的条件怎样与命题的结论联系起来的．它们原先在数值、运算、结构方式上都很不相同，内在联系更被外在形式深深掩盖着，如果不加以亲自动手的证明，我们既无法理解它们之间的联系，更难以记忆与运用．硬着头皮背熟了，也只是被动的机械学习．　3．发现．就是说，数学证明有助于获得新的体验，发现新的结论．这是证明的第三个作用．我们可以在几个结构类似的例子证明中，发现其对数字的依赖是非实质的，对数字的指数的依赖也是非实质的，对数字的个数的依赖还是非实质的，因而推广出新的命题．当然，这点“发现”对于数学科学来说是微不足道的，但对数学学习来说，却是既有价值，又很珍贵的．数学家戴维斯与赫什在合著《数学经验》一书中说过：在最好的情况下，证明通过揭示事物的核心而增强理解，证明提供新的数学．初学证明的人变得更加接近新数学的创造．证明是数学的力量，是这门学科用来赋予定理的静态断言以活力的电压．证明是数学的特征，我们的数学教学要全面关注数学证明的三个作用．
　　以上，从几点谈了数学学习的认识．但是，数学学习内容是不能穷尽，这只是本人的一点粗浅认识．
参考文献: 1 王元 数学大辞典 科学出版社 2010 .8
2 罗曾儒 数学证明的作用 中学数学教学参考 2011 第五期