2011年朝阳区初三一模数学试题及答案.doc

北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数 学 试 卷 2011.5
学校 　　　 姓名 准考证号
考生须知
1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．3的绝对值是
A．3 B．-3 C． D．
2．2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间减少了0.000 001 6 秒，将0.000 001 6用科学记数法表示为
A．16×10-7 B．1.6×10-6 C．1.6×10-5 D．0.16×10-5
3．下列运算正确的是
A. x2＋x2 =2x4 B. C. x4 · x2 = x6 D.
4．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：

那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是
A． B． C． D．
5．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选 手
甲
乙
丙
丁
平 均 数
9.2
9.2
9.2
9.2
方 差
0.35
0.27
0.25
0.15
则这四人中，成绩发挥比较稳定的是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不一定相同的几何体是

7．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过
A．12 mm　 　B．12mm　　 C．6mm　　 D．6mm
8．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有
A．最大值 1 B．最大值2 C．最小值0 D．最小值
(第11题图)
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在函数中，自变量x的取值范围是______．
10．分解因式______．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，
点D是弧BAC上一点，则∠D的度数是______．
12．如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，
(第12题图)
当B1、C1分别为AB、AC的中点时，B1C1=，
当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，B2C2=，
当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，B3C3=，
当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，B4C4=，
当B5、C5分别为BB4、CC4的中点时，B5C5=_
……
当Bn、Cn分别为BBn-1、CCn-1的中点时，则BnCn= ；
设△ABC中BC边上的高为h，则△PBnCn的面积为______(用含a、h的式子表示)．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： .

14．已知，求的值.

15．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE的延长线与DA的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE；
（2）连接AC、FB，则AC与FB的数量关系是 ，位置关系是 ．

16．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交 点为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．

17．列方程或方程组解应用题：
某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．
根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？

18．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．

四、解答题（本题共20分，第19、20题每小题5分，第21题6分，第22题4分）
19．已知关于x的方程 (m-1) x2 - 2x + 1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，求抛物线y=(m-1) x2 - 2x + 1的顶点坐标．

20．2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：
消费者年收入统计表 消费者打算购买住房面积统计图
年收入（万元）
4.8
6
9
12
24
被调查的消费者数（人）
10

30
9
1

请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表和统计图；
（2）打算购买住房面积小于100平方米
的消费者人数占被调查人数的百分
比为 ；
（3）求被调查的消费者平均每人年收入
为多少万元？

21．已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．

22．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).

图① 图② 图③
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.
（1）新图形为平行四边形； （2）新图形为等腰梯形.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.
（1）求AC和AD的长；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.

24．已知抛物线.
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；
（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的
左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，那么m的取值范围
是 ；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式.

25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
图②
图①

北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷评分标准及参考答案
2011.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 10． 11．50°
12．, , （注：前两空每空1分，第三空2分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式= ………………………………………………… 4分
=. ………………………………………………………………… 5分
14．解：原式= ………………………………………… 3分
= . …………………………………………………………… 4分
∵，∴．
∴原式=1+3=4 ． ………………………………………………………………… 5分
15．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠F． …………………………… 1分
∵点E是AB的中点，
∴BE=AE. ……………………………… 2分
在△BCE和△AFE中，
∠1=∠F，
∠3=∠2，
BE=AE，
∴△BCE≌△AFE. ……………………………………………………… 3分
（2）相等， ……………………………………………………………………………… 4分
平行. ……………………………………………………………………………… 5分
16. 解：（1）把A（2，3）代入，∴m=6.
∴. ……………………………………………………………… 1分
把A（2，3）代入y=kx+2，
∴. ∴.
∴ ………………………………………………………… 2分
（2）令,解得x=-4，即B（-4，0）.
∵AC⊥x轴，∴C（2，0）.
∴ BC=6. ………………………………………………………………… 3分
设P(x,y)，
∵S△PBC==18，
∴y1=6或y2=-6.
分别代入中，
得x1=1或x2=-1.
∴P1（1，6）或P2（-1，-6）. …………………………………………… 5分
17．解：设原来报名参加的学生有x人， ……………………………………………… 1分
依题意，得 . ……………………………………………… 2分
解这个方程，得 x=20． ……………………………………………… 3分
经检验，x=20是原方程的解且符合题意. …………………………………… 4分
答：原来报名参加的学生有20人．…………………………………………… 5分
18. 解：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1分
在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3. …………………………………… 2分
在矩形ABCD中，DC=AB=5.
∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3分
设FC=x，则EF=4-x.
在Rt△CEF中，. .…………………………………………… 4分
解得. ……………………………………………………………………… 5分
即FC=.
四、解答题（本题共20分，第19、20题每小题5分，第21题6分，第22题4分）
19. 解：（1）∵方程 (m-1) x2 - 2x + 1=0有两个不相等的实数根，
∴. ……………………………………………… 1分
解得m<2. …………………………………………………………………… 2分
∴m的取值范围是m＜2且m≠1. …………………………………………… 3分
（2）由（1）且m为非负整数,
∴m=0. ………………………………………………………………………… 4分
∴抛物线为y= -x2 - 2x + 1= -(x+1)2+2.
∴顶点(-1,2). ………………………………………………………………… 5分
20．解：（1）50, ………………………… 1分
如图； ……………………… 2分
（2）52%；…………………………3分
（3）
=7.5 （万元）. ……………… 5分
故被调查的消费者平均每人年收入为7.5万元.
21.（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，
∴∠DCF=∠AHF90°.
∴CD为⊙O的切线. ……………… 2分
（2）解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AH=BH==4.
在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，
∴CH=3. ……………………………… 3分
∵AE∥BC，∴∠B=∠HAF.
∴△HAF≌△HBC.
∴FH=CH=3，CF=6. ………………………………………………………… 4分
连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x-3.
在Rt△BHO中，由，解得. …………………… 5分
∴. .…………………………………………………… 6分
22. 解：（1） （2）

（注：每图2分）
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23.解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠ACB=∠CAD.
∴tan∠ACB =tan∠CAD=. ∴.
∵AB=8， ∴BC=6.
则AC=10. ……………………………………………………1分
过点C作CH⊥AD于点H，
∴CH=AB=8,则AH=6.
∵CA=CD,
∴AD=2AH=12. .………………………………………………………………………2分
（2）∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D.
∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，
∴∠FEC=∠D.
∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，
∴∠1=∠2.
∴△AEF∽△DCE. ……………………………………………………………………3分
∴，即.
∴. .……………………………………………………………4分
（3）若△EFC为等腰三角形.
①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD.
由12-x=10，得x=2. .…………………………………………………………………5分
②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，
∴CE=AE=12-x.
在Rt△CHE中，由，解得. …………………… 6分
③当CECF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，
此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去. …………………7分
综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或.
24. (1)证明：∵ …………………………………………1分
…………………………………………………………… 2分
∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点.
(2)m＜-1且m≠-4. ……………………………………………………………………… 3分
(3)解：令，
解得x1=m+1，x2=-3. …………………………………………………………………………4分
可求得顶点.
①当A(m+1,0)、B(-3,0)时，
∵，
∴.……………………………………………5分
解得.
∴.…………………………………………………………………………6分
②当A(-3,0)、B(m+1,0)时，
同理得.…………………………………………7分
解得.
∴.…………………………………………………………………………8分
25. (1)BD=BM. ……………………………………………………………………………2分
(2)结论成立.
证明:连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC.………………………………… 3分
∴DM=FM, DE=FC
∴AD=ED=FC.
作AN⊥EC于点N.
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分
∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM.
∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.
∴△BCF≌△BAD. …………………………………………………………………………5分
∴BF=BD，∠5=∠6.
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.
∴△DBF是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形.
∴BD=BM. ……………………………………………………………………………… 7分

（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．）

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