江苏省海门中学中考数学自主招生考试试卷人教新课标版.doc

2012年江苏省海门中学中考自主招生考试数学试题注意事项1. 本试卷共9页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号用0.5毫米黑色水笔填写在试卷及答题卡指定的位置。3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上, 在试卷或草稿纸上答题一律无效。一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）1、下列计算正确的是( ) A、 B、C、 D、答案：D2、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345输出 那么，当输入数据是8时，输出的数据是( ) A、 B、 C、 D、答案：C3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若 ,则（2）方程的解为（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5其中答案完全正确的题目个数为( )A0个 B1个 C2个 D3个答案：A4、如图，已知直线的解析式是 ，并且与轴、轴分别交于A、B两点。一个半径为1.5的C,圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动,当C与直线相切时,则该圆运动的时间为( )A.3秒或6秒 B.6秒 C.3秒 D.6秒或16秒答案: D5、已知，则的值为（ ）A B C D或1答案：B6、如图，是O的内接正三角形，弦经过边的中点，且，若O的半径为，则的长为( )A. B. C. D.答案：C7、已知函数（为常数）的图象上有两点，。若且，则与的大小关系是( )A. B. C. D. 与的大小不确定答案:B二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）8、计算： 答案：9、已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 _ 。答案：10、一个密码箱的密码，每个数位上的数字都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要_位.答案：411、定义：。现有，则_答案：412、在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于、两点，把直线沿过点的直线翻折，使与轴上的点重合，折痕与轴交于点，则直线的解析式为_答案：，13、已知方程有一根满足,为正整数,则_.答案：314、如图，于，交于点，则_答案：三、解答题（本大题共8题，共80分）15、（本题满分10分）(1)在中,的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程。（2）已知锐角满足：，求的值。解:（1） 5分（2）由，得所以可解得或（舍），易得 5分16、（本题满分10分）(1)图(1)是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图(2)、(3)、(4)、(5)的木块。我们知道，图(1)的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(2)，(3)，(4)，(5)中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：图顶点数棱数面数(1)8126(2)(3)(4)(5)(2)观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：_.解：(1)图顶点数棱 数面 数(2)695(3)8126(4)8137(5)1O157(2)顶点数+面数=棱数+2 17、（本题满分10分）阳光公司生产某种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量为20万件，为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是（万元）时，产品的销量是原销量的倍，且与之间满足：如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。（1） 试求出年利润（万元）与广告费（万元）的函数关系式，并注明的取值范围；（2） 若，要使利润随广告费的增大而增大，求的取值范围。解:(1)(2)在中，随的增大而增大。时，随的增大而增大。若，要使利润随广告费的增大而增大，则的取值范围为。18、（本题满分10分）已知是半径为1的圆的一条弦，且,以为一边在圆内作正三角形，点为圆上不同于点的一点，且，的延长线交圆于点，求的长。解：如图，连接OE，OA，OB。设CDB = x,则CD = AB = DB， BCD = x。ACB = 60，ECA = 120- x。ABO = ABD / 2 =（ABC +CBD）/2 = （60+180- 2x）/2=120 - x，ACE ABO ，AE= OA = 1.19、已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：解：由韦达定理，有，。于是，对正整数，有原式= 20、（本题满分8分）解方程：（注：表示实数的整数部分，表示的小数部分,如）解：原方程可变为即因，故，于是只可能为0,1,2，且当时，；当时，；当时，。21、（本题满分10分）设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“”，使得(1) 证明：结合律成立.(2) 证明：如果a与b在S中，那么也在S中.（说明：可能用到的知识: 即）（1）（b)*c=*c=因为此式关于a,b,c对称，所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算（2）当-1a1,-1b1时，有-11成立，也即证1成立，从而用比较法即可证得22、（本题满分12分）如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线.点P是上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0S18时，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.23.解：（1）点B与O（0，0）关于x=3对称,点B坐标为（6，0）.将点B坐标代入得：36+12=0,=.抛物线解析式为.2分当=3时，,顶点A坐标为（3，3）. 3分（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）（2）设直线AB解析式为y=kx+b.A(3,3),B(6,0), 解得, .直线AB且过点O,直线解析式为.点是上一动点且横坐标为,点坐标为（）.4分当在第四象限时（t0），=1263+6=9+3.0S18,09+318,-33.又0,03.5分当在第二象限时（0）,作PM轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则=-3+9.0S18,0-3+918,-33.又0,-30.6分t的取值范围是-30或03.(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分（说明：点Q坐标答对一个给1分）