自适应光学中的模式法.pdf

自适应光学中的模式法梁静远1,林水清1,韩美苗1,宋 鹏2,赵 黎3,柯熙政1(1.西安理工大学 自动化与信息工程学院,西安7 1 0 0 4 8;2.西安工程大学 电信学院,西安7 1 0 6 0 0;3.西安工业大学 电子信息工程学院,西安7 1 0 0 2 1)摘 要:自适应光学(a d a p t i v e o p t i c s,A O)能够有效校正无线光通信系统中由大气湍流造成的波前畸变,模式法作为自适应光学控制算法,对提高自适应光学系统的性能有着显著的效果。本文系统阐述了Z e r n i k e模式法、变形镜本征模式法、L u k o s z模式法及L e g e n d r e模式法在自适应光学领域的国内外研究进展,详细介绍了常见的模式法及校正原理,同时简要介绍了自适应光学系统波前畸变校正质量评价方法及模式法在波前畸变校正的应用,给出了模式法的研究重点主要是减小偏差及提升速度精度。这些直接关系到波前畸变校正能力的大小,影响自适应光学系统的性能。关键词:模式法;自适应光学;Z e r n i k e模式法;波前畸变中图分类号:O 4 3 9;T N 9 2 9文献标志码:A D O I:1 0.1 2 0 6 1/j.i s s n.2 0 9 5 6 2 2 3.2 0 2 3.0 2 0 1 0 3收稿日期:2 0 2 2 1 1 1 0;修回日期:2 0 2 3 0 2 0 5基金项目:陕西省科研计划基金资助项目(1 8 J K 0 3 4 1);陕西省重点产业创新基金资助项目(2 0 1 7 Z D C X L-G Y-0 6-0 1);西安 市科技计划基金资助项目(2 0 2 0 K J R C 0 0 8 3)通信作者:柯熙政(1 9 6 2-),男,陕西西安人,教授,博士,主要从事无线光通信方面的研究。E-m a i l:x z k e 2 6 3.n e tR e s e a r c h P r o g r e s s o f M o d e M e t h o d i n A d a p t i v e O p t i c s L I ANG J i n g y u a n1 L I N S h u i q i n g1 HAN M e i m i a o1 S ONG P e n g2 Z HAO L i3 K E X i z h e n g1 1 C o l l e g e o f A u t o m a t i o n a n d I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g X i a n U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y X i a n 7 1 0 0 4 8 C h i n a 2 C o l l e g e o f T e l e c o mm u n i c a t i o n s X i a n U n i v e r s i t y o f E n g i n e e r i n g X i a n 7 1 0 6 0 0 C h i n a 3 C o l l e g e o f E l e c t r o n i c I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g X i a n T e c h n o l o g i c a l U n i v e r s i t y X i a n 7 1 0 0 2 1 C h i n a A b s t r a c t A d a p t i v e o p t i c s c a n e f f e c t i v e l y c o r r e c t t h e w a v e f r o n t d i s t o r t i o n c a u s e d b y a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e i n w i r e l e s s o p t i c a l c o mm u n i c a t i o n s y s t e m s A s a n a d a p t i v e o p t i c a l c o n t r o l a l g o r i t h m t h e m o d e m e t h o d h a s a s i g n i f i c a n t e f f e c t o n i m p r o v i n g t h e p e r f o r m a n c e o f a d a p t i v e o p t i c a l s y s t e m s T h i s p a p e r s y s t e m a t i c a l l y d e s c r i b e s t h e r e s e a r c h p r o g r e s s o f Z e r n i k e m o d e m e t h o d d e f o r m a b l e m i r r o r e i g e n m o d e m e t h o d L u k o s z m o d e m e t h o d a n d L e g e n d r e m o d e m e t h o d i n t h e f i e l d o f a d a p t i v e o p t i c s a t h o m e a n d a b r o a d i n t r o d u c e s t h e c o mm o n m o d e m e t h o d a n d c o r r e c t i o n p r i n c i p l e i n d e t a i l a n d b r i e f l y i n t r o d u c e s t h e q u a l i t y e v a l u a t i o n m e t h o d o f w a v e f r o n t d i s t o r t i o n c o r r e c t i o n i n a d a p t i v e o p t i c s s y s t e m a n d t h e a p p l i c a t i o n o f m o d e m e t h o d i n w a v e f r o n t c o r r e c t i o n T h e r e s e a r c h e m p h a s i s o f m o d e m e t h o d i s t o r e d u c e t h e d e v i a t i o n a n d i m p r o v e t h e s p e e d a c c u r a c y w h i c h d i r e c t l y a f f e c t s t h e a b i l i t y o f w a v e f r o n t d i s t o r t i o n c o r r e c t i o n a n d t h e n a f f e c t s t h e p e r f o r m a n c e o f a d a p t i v e o p t i c s s y s t e m K e y w o r d s m o d e m e t h o d a d a p t i v e o p t i c s Z e r n i k e m o d e m e t h o d w a v e f r o n t d i s t o r t i o n 1-301020第1 4卷 第2期2 0 2 3年6月现 代 应 用 物 理MO D E R N A P P L I E D P HY S I C SV o l.1 4,N o.2J u n.2 0 2 3 自适应光学1可抑制激光信号在大气湍流传输中受到的扰动2,校正光束受干扰所引起的波前畸变。常见的自适应光学控制算法主要有模式法3、基于几何光学原理的算法及无模型优化算法等,本文主要介绍模式法中的Z e r n i k e模式法及变形镜本征模式法,同 时 简 要 介 绍 其 他 模 式 法(L u k o s z模 式 法 及L e g e n d r e模式法)。模式法可有效抑制波前相位畸变,提高自适应光学系统校正速度和精度,进而改善通信质量。因此,寻找一种可改进、优化模式法的方法,对提高自适应光学系统性能具有很大的潜力。1国内外研究进展1 9 5 3年,B a b c o c k4首次提出了自适应光学概念,同时提出了利用表面形状可变的光学元件产生相应共轭波前补偿动态波前偏差的思想,为自适应光学的发展奠定了基础。1 9 7 6年,N o l l5给出了湍流K o l m o g o r o v谱的Z e r n i k e表示,定义了光学上最常用的Z e r n i k e表达形式。1 9 7 7年,F r i e d6在无线光通信系统中应用了自适应光学,由此自适应光学可实现对波前进行实时修正7。1 9 7 9年,姜文汉等8率先开辟了国内自适应光学研究方向,开发了具有国际先进水平的自适应光学系统。这些研究为模式法应用于自适应光学系统奠定了基础。1.1Z e r n i k e模式法1 9 9 0年,R o d d i e r9提出了一种使用随机加权函数的Z e r n i k e展开,模拟大气畸变波前的算法,同时对 该 算 法 进 行 介 绍 和 分 析,实 验 结 果 证 明 了Z e r n i k e多项式可很好地模拟畸变的波前。同年,D a n i e l等1 0通过实验验证了Z e r n i k e多项式的正交性,证明了Z e r n i k e多项式非常适合波前的拟合,同时提出了使用一组正交多项式进行Z e r n i k e拟合的方法,且该方法可加快Z e r n i k e拟合速度。2 0 0 5年,S e i f e r t等1 1通过研究自适应S h a c k-H a r t m a n n传感器的波前重构,证明了Z e r n i k e模式法波前重构更适合于简单的波前。2 0 0 8年,杨平等1 21 3为提高自适应光学系统的性能,提出一种结合遗传算法和Z e r n i k e 模式的自适应光学控制算法,并实验验证了该算法不仅缩短了迭代时间,还提高了校正速度,波面峰谷(p e a k t o v a l l e y,P V)和均方根(r o o t m e a n s q u a r e,RM S)分别由校正像差前的3.3 8和0.6 4降低为0.5 2和0.0 6,改善效果显著,且校正后远场光斑由分散变得更加聚集,接近于理想的艾里斑。2 0 1 0年,L i u等1 4将Z e r n i k e模式法用于一种向列相液晶自适应光学系统的灰度图重构算法,同时进行了实验,结果表明:Z e r n i k e模式法校正的P V值和RM S值 分 别 从2.5 0 1和0.6 1 0降 低 到0.0 3 3 4和0.0 0 8 4 5,远小于斜率法的0.1 7 3和0.0 4 8。与斜率法相比,模式法校正后系统的斯特列尔比更接近衍射极限。2 0 1 8年,L i u等1 5提出了利用差分Z e r n i k e多项式拟合(d i f f e r e n c e Z e r n i k e p o l y n o m i a l s f i t t i n g,D Z P F)方法,从多相位差重建波前,数值仿真结果表明,D Z P F方法能在更宽的剪切比范围内保持较高的重构精度,且具有更好的抗噪性能;同时对剪切干涉仪进行了测试实验,可将剪切 干 涉 仪 测 量 的RM S值 从0.0 0 5 4降 低 到0.0 0 2 9。2 0 1 2年,B o o t h等1 6设 计 了 基 于Z e r n i k e模式法的自适应光学系统,并实验验证了该系统校正速度较快,且无须多次迭代,系统实时性得到很大提高。随着研究的不断深入,模式法的速度、精度及实时性都得到了不同程度的提高,这使模式法成为自适应光学控制算法中非常重要的一部分。在非圆域波前(环域或其他形状的波前)的相关研究方面,U p t o n等1 7利用G r a m-S c h m i d t正交化技术,由圆域Z e r n i k e多项式生成正交六边形Z e r n i k e多项式,同时给出了前1 5个6阶Z e r n i k e多项式的结果,实验证实了该正交化技术可推广到任意形状的孔径。2 0 1 0年,M a h a j a n等1 8提出了非圆域波前分析理论,并 将 其 应 用 于 环 域Z e r n i k e多 项 式 和 圆 域Z e r n i k e多项式波前分析的系统比较,研究结果表明:与环域Z e r n i k e系数不同,圆域Z e r n i k e系数通常随着展开式中多项式数量的变化而变化;用一定数量的圆域Z e r n i k e多 项 式 拟 合 的 波 前 与 用 相 应 的 环 域Z e r n i k e多项式拟合的波前大致相同。2 0 1 6年,T i a n等1 9提出利用G r a m-S c h m i d t正交化方法处理一般孔径类型的波前重建,该方法构造一组正交基函数并计算展开系数,以再现原始波前,研究表明:与经典的最小二乘法相比,该方法数值稳定,对处理非圆形孔径表现出更优越的性能;该方法对噪声具有鲁棒性,不会因省略高阶项而导致截断偏差。将Z e r n i k e模式法应用于自适应光学系统的理论知识已相当成熟,随着研究的深入,其应用也扩展到了医学领域,可利用人眼像差扩展为Z e r n i k e多项 式 这 一 思 路 实 现 医 学 上 人 眼 像 差 校 正。K a w a s h i m a等2 0利用变形镜对人眼像差进行补偿,将S h a c k-H a r t m a n n波前传感器测量的模型眼像差扩展为Z e r n i k e多项式,并确定变形镜的驱动电压,通过对每个Z e r n i k e多项式使用适当的电压抵消人2-301020第1 4卷现 代 应 用 物 理眼像差。结果表明:该方法可使模型人眼像差校正的均方根偏差小于0.1 m。D u r n等2 1介绍了一种使用传统的空间光调制器来补偿人眼中常见的光学像差的方案,通过引入单个Z e r n i k e项对人工眼睛进行像差畸变校正,实验证明该方案可有效校正人工眼睛像差畸变。这是朝着使用低成本、通用空间光调制器补偿眼睛畸变迈出的一步。1 9 6 3年,L u k o s z2 2推导了符合导数正交特性的L u k o s z模式,L u k o s z模式基于Z e r n i k e模式而来,可使用L u k o s z模式展开波前误差,针对L u k o s z模式法的研究并不是很多。2 0 0 7年,B o o t h等2 3,2 4提出了一种基于L u k o s z模式的无波前传感自适应光 学(w a v e f r o n t s e n s o r l e s s a d a p t i v e o p t i c s,WS AO)系统,使用基于表示像差的L u k o s z多项式展开,实验结果表明,L u k o s z模式法可像Z e r n i k e模式法一样实现对波前像差的校正,可用至少N+1个光电探测器测量值实现N阶像差模式的波前像差校正。2 0 1 6年,D o n g等2 5采用基于L u k o s z模式的无波前传感自适应光学系统对红外遥感器进行动态像差校正,并使用在低空间频率的光斑图像频谱密度作为性能指标函数,使用5 2单元变形镜用于校正,结果表明:动态校正期间图像锐度的平均值为1.4 3 61 0-5;在未经优化的校正中,图像锐度的平均值为1.4 2 71 0-5;与传统的随机并行梯度下降法相比,基于L u k o s z模式法的无波前传感自适应光学系统可更快地实现收敛。虽然基于L u k o s z模式法的研究比较少,但不失为一种比较优秀的用于波前畸变校正的模式法,在某些模式法对比分析中,如果将其他模式法替换为L u k o s z模式法,或许会带来性能的提升。使用Z e r n i k e模式法虽可提高波前畸变校正精度,实现 更 快 的 收 敛 速 度,但 也 有 缺 点。罗 智 锋等2 6采用Z e r n i k e模式法进行了畸变波前重构的实验,讨论了不同的Z e r n i k e阶数对恢复波前误差的影响,结果表明:随着Z e r n i k e阶数的增大,P V和RM S都在迅速减小;但当阶数N超过2 0阶后,变化就较小,且阶数增加带来的大量计算也会带来计算上的偏差。也就是说,Z e r n i k e模式法在高于某个阶数时,波前重构的效果会变得不理想,即存在最佳阶数选择问题。1.2变形镜本征模式法由变形镜自身影响函数出,可推导出一组符合导数正交特性的变形镜本征模式。1 9 9 5年,胡朝晖等2 7介绍了变形镜本征模式法的结构及应用原理,最后使用3 7单元变形镜,做了实际构造本征模实验。2 0 1 6年,王瑞等2 8针对无波前传感器自适应光学系统,提出了用变形镜本征模式代替L u k o s z模式法的方案,实验结果表明:该方案的校正效果优于L u k o s z模 式 法,且 剩 余 波 前 偏 差RM S值 为0.0 4 2,而用L u k o s z模式的RM S值为0.0 7 4。同年,王瑞等2 9研究了基于变形镜本征模式的波前畸变校正,并搭建了系统进行实验,结果表明:在不同湍流强度下,经3次迭代校正后,算法均可收敛,且系统的斯特列尔比大于0.8。2 0 1 8年,王胜千等3 0研制了一种基于棱锥波前传感器本征模式控制的自适应光学装置,利用棱锥波前传感器本征模式获取自适应光学系统的传递函数矩阵,并通过模式滤波提高了传递函数矩阵的稳定性,有效提高了基于棱锥波前传感器的自适应光学系统的闭环稳定性,能根据实际情况选择系统的校正效果。2 0 1 9年,柯熙政等3 1推导了一组符合导数正交关系的变形镜本征模,用于校正畸变的远场光斑,并结合菲涅耳衍射和多相屏传输原理,建立了不同大气湍流强度下的系统仿真模型,结果表明,该方法可提高系统的信噪比,有效校正动态大气湍流引起的波前畸变。1.3基于深度学习算法近几年,随着深度学习的迅速发展,其应用扩展到了自适应光学领域。1 9 9 0年,A n g e l等3 2使用人工神经网络来校正活塞(p i s t o n)和倾斜(t i p/t i l t)像差,该研究最早将深度学习应用到自适应光学领域。但由于当时受限于实验器材,且又有大气湍流的干扰,校正效果并不理想。最近几年,深度学习应用于自适应光学的研究逐渐增多。2 0 1 8年,M a等3 3对A l e x N e t3 4网络(一种用于分类的卷积神经网络)进行了修改,首先仿真生成了在不同大气湍流参数下的焦面与离焦面图像,然后将这些图像作为输入,训练修改后的网络模型,最后输出了前3 5阶Z e r n i k e系数。2 0 2 0年,R o d i n等3 5使用卷积神经网络,基于点扩散函数的强度模式,对单个Z e r n i k e多项式对应的像差类型进行训练和识别,使用快速傅里叶变换算法,模拟焦平面中的点扩散函数强度模式,在训练神经网络时,根据经验选择给定大小的数据集的学习系数和周期数,从1 5 0 0 0张点扩散函数图像的数据集中,获得了一组1 5个Z e r n i k e多项式的神经网络,对每种像差的平均值预测偏差。对于大多数 类 型 的 像 差,平 均 绝 对 偏 差 范 围 为0.0 1 20.0 1 5。2 0 2 0 年,H u等3 6基 于U-N e t3 7(一种全卷积神经网络)和R e s N e t3 8(一种卷积神3-301020 梁静远 等:自适应光学中的模式法第2期经网络)构造了 S H-N e t。S H-N e t将哈特曼传感器的光斑阵列图作为输入,直接输出待测波前的相位图,结果表明,S H-N e t复原的波前残差RM S值仅有0.0 1 6 8,在实际应用时,S H-N e t平均运算时间为4 0.2 m s。2 0 2 2年,曹阳等3 9通过采用残差网络作为主干网络,并构建多尺度残差混合注意力网络结构,使用卷积操作将光强图像转换为特征图向后传播;通过不同尺度的卷积核来提取特征,利用注意力机制提高网络对光斑特征的识别率;最后设计网络损失函数,得到符合实际波前像差的Z e r n i k e系数。结果表明,残差注意力网络能快速准确地重构湍流相位,从而有效校正畸变,为深度学习在AO系统中的实际应用提供了保障。2 0 2 2年,宁禹等4 0提出了一种基于机器学习的自适应光学波前校正方法,利用湍流池模拟产生随机扰动,并通过波前探测器获取样本数据,能简化自适应光学系统结构,提高无波前传感的波前校正精度和速度。1.4小结模式法在生物医学领域也有不少的研究及应用。近年来对模式法的研究重点,主要集中在误差分析、抑制及消除与速度、精度的提升。模式法的速度与精度直接关系到自适应光学系统的性能,如何提高模式法的求解速度及精度,仍是未来模式法研究的重点。将深度学习算法或机器学习算法应用于自适应光学是一个新的研究方向,目前还需更加深入地研究。模式法在国内的研究,最初相关实验并不少,但大多以数值计算及仿真模拟为主。近几年来不断有新的研究方法被提出,增加了许多新的研究方向,但这些还远远不够,国内的研究大多还是算法本身的仿真分析,且受到实验场地和实验器材等限制,制约了我国模式法的发展。模式法在自适应光学中的应用还需进行更多研究分析改进。模式法的国内外研究进展状况主要内容如表1所列。表1模式法的国内外研究进展T a b.1 R e s e a r c h p r o g r e s s o f m o d e m e t h o d a t h o m e a n d a b r o a dY e a r sR e s e a r c h e r sR e s e a r c h c o n t e n t sR e s u l t s1 9 5 3B a b c o c k4P r o p o s e t h e c o n c e p t o f a d a p t i v e o p t i c s1 9 7 6N o l l5D e f i n e t h e m o s t c o mm o n l y u s e d Z e r n i k e e x p r e s s i o n Z e r n i k e r e p r e s e n t a t i o n o f t u r b u l e n t K o l m o g o r o v s p e c t r u m i s g i v e n1 9 7 7F r i e d6I n t r o d u c i n g AO i n t o W i r e l e s s O p t i c a l C o mm u n i c a t i o n S y s t e m sAO u n i t c a n c o r r e c t w a v e f r o n t d i s t o r t i o n c a u s e d b y a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e i n r e a l t i m e1 9 7 9J i a n g8 1 9 e l e m e n t w a v e f r o n t c o r r e c t i o n s y s t e m 2 1 e l e m e n t a d a p t i v e o p t i c a l s y s t e m 1 9 9 0R o d d i e r9A n a l g o r i t h m f o r s i m u l a t i n g a t m o s p h e r i c d i s t o r t e d w a v e f r o n t u s i n g Z e r n i k e e x p a n s i o n i s p r o p o s e dZ e r n i k e p o l y n o m i a l s c a n w e l l s i m u l a t e d i s t o r t e d w a v e f r o n t1 9 9 0D a n i e l1 0A Z e r n i k e f i t t i n g m e t h o d u s i n g a s e t o f o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s i s p r o p o s e dF a s t e r Z e r n i k e f i t t i n g s p e e d1 9 9 5H u2 7T h e DM e i g e n m o d e m e t h o d i s i n t r o d u c e d2 0 0 7B o o t h2 32 4W a v e f r o n t s e n s o r l e s s a d a p t i v e o p t i c a l s y s t e m b a s e d o n L u k o s z m o d eRM S v a l u e r e d u c e d f r o m 2.0 1 r a d t o 0.3 8 r a d2 0 0 8Y a n g1 21 3A d a p t i v e o p t i c a l c o n t r o l a l g o r i t h m c o m b i n i n g g e n e t i c a l g o r i t h m w i t h Z e r n i k e m o d eP V v a l u e a n d RM S v a l u e d e c r e a s e d f r o m 3.3 8 a n d 0.6 4 b e f o r e c o r r e c t i o n t o 0.5 2 a n d 0.0 6 r e s p e c t i v e l y2 0 1 0L i u1 4Z e r n i k e m o d e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m f o r AOP V a n d RM S v a l u e s a r e f a r l e s s t h a n 0.1 7 3 a n d 0.0 4 84-301020第1 4卷现 代 应 用 物 理 续表1Y e a r sR e s e a r c h e r sR e s e a r c h c o n t e n t sR e s u l t s2 0 1 5Y u4 3W a v e f r o n t s e n s o r l e s s a d a p t i v e o p t i c a l s y s t e m b a s e d o n d e f o r m a b l e m i r r o r e i g e n-m o d e m e t h o dRM S i s r e d u c e d f r o m 4.3 r a d t o 0.2 6 r a d2 0 1 7W a n g2 9W a v e f r o n t d i s t o r t i o n c o r r e c t i o n b a s e d o n DM e i g e n m o d e sS R a f t e r c o r r e c t i o n i s h i g h e r t h a n 0.82 0 1 8L i u1 5R e c o n s t r u c t i o n o f w a v e f r o n t f r o m m u l t i-p h a s e d i f f e r e n c e u s i n g Z e r n i k e p o l y n o m i a l s f i t t i n g m e t h o dRM S v a l u e f r o m 0.0 0 5 4 r e d u c e d t o 0.0 0 2 92 0 1 9K e3 1WS AO s y s t e m b a s e d o n DM e i g e n m o d eT h e s y s t e m c o n v e r g e s a f t e r 6 i t e r a t i o n s,a n d t h e S t r e e r r a t i o i s b a s i c a l l y m a i n t a i n e d a t a b o u t 0.8 52 0 2 0R o d i n3 5U s i n g C NN,t h e MA E o f a g r o u p o f 1 5 Z e r n i k e f u n c t i o n n e u r a l n e t w o r k s f o r e a c h a b e r r a t i o n i s o b t a i n e dT h e MA E i s 0.0 1 20.0 1 52 0 2 2N i n g4 0AO w a v e f r o n t c o r r e c t i o n s y s t e m b a s e d o n MLI m p r o v e t h e a c c u r a c y a n d s p e e d o f w a v e f r o n t c o r-r e c t i o n w i t h o u t w a v e f r o n t s e n s o r2模式法模式法是选用合适的基底模式描述波前误差,通过优化基底模式系数来校正波前畸变4 14 2。目前,常用的基底模式有变形镜本征模式4 3、Z e r n i k e模式5、L u k o s z模式4 3及L e g e n d r e模式4 4等,且所用基底模式需满足倒数正交关系4 3。2.1Z e r n i k e模式2.1.1Z e r n i k e多项式的定义Z e r n i k e 多项式是一组定义在单位圆上的完备正交基。目前,光学上最常用的表达形式是由 N o l l 定义的Z e r n i k e多项式5表示为Zk(,)=2(n+1)Rmn()c o s(m)k为偶数,m02(n+1)Rmn()s i n(m)k为偶数,m0n+1R0n()m=0 (1)其中:和为极坐标系的参数,01 0,02;n与m分别为多项式的径向数与角向数,且同时满足:n0,m0,mn,n-m为偶数;k为Z e r n i k e多项式的序号;Rmn()为Z e r n i k e 多项式的径向函数,表示为Rmn()=n-m2k=0(-1)k(n-k)!k!n+m2-k !n-m2-k !n-2k(2)2.1.2Z e r n i k e多项式的物理意义Z e r n i k e 多项式对应关系和物理含义如表2所列4 5。由表2可分析畸变波前中所含的各种像差成分及相对大小。表2 Z e r n i k e 多项式与低阶S e i d e l像差对应关系T a b.2 C o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n Z e r n i k e p o l y n o m i a l s a n d l o w o r d e r S e i d e l a b e r r a t i o n sM o d u l o o r d i n a l n u m b e rR a d i a l n u m b e rA n g u l a rn u m b e rP o l a re x p r e s s i o nA b e r r a t i o n1001T r a n s l a t i o n2112c o s T i l t i n x d i r e c t i o n3112s i n T i l t i n y d i r e c t i o n4203(22-1)O u t o f f o c u s52262s i n(2)4 5 a s t i g m a t i s m62262c o s(2)0 o r 9 0 a s t i g m a t i s m7318(32-2)s i n Y-a x i s t h i r d o r d e r c o m a83 18(32-2)c o s X-a x i s t h i r d o r d e r c o m a5-301020 梁静远 等:自适应光学中的模式法第2期2.1.3Z e r n i k e多项式用于模拟湍流相位屏在 无 线 光 通 信 系 统4 64 8中,采 用 若 干 项Z e r n i k e多项式的线性组合来表示大气湍流相位屏波前相位(x,y),表示为(x,y)=nZi=1aiZi(x,y)(3)其中:ai为采用模式的第i阶系数;Zi为采用的模式;nZ为前Z项 Z e r n i k e 多项式;第i项和第 j 项 Z e r n i k e 多项式系数之间的协方差,表示为4 9=(-1)(ni+nj-mi-mj)2(ni+1)(nj+1)mim jIninj24-2B()c()(D0/r0)-2(4)其中:ni,nj与mi,mj分别为第i项和第j项 多项式对应的径向频率数和角向频率数;D0为望远镜直径;r0为大气相干长度;mimj为K r o n e c k e r逻辑符号;B(),c(),mimj,Ininj分别表示为B()=(2)22-(-2)(5)c()=28-22-2 -22(6)mim j=(mi=mj)(i+j)e v e n (mi=0)(7)Ininj=(ni+nj-+2)2 (ni-nj+2)2 (nj-ni+2)2 (+1)(ni+nj+4)2 (8)其中:为非K o l m o g o r o v大气湍流的折射率3维功率谱密度指数项的绝对值,为34;e v e n指偶数;mimj为K r o n e c k e r 逻辑符号;,分别为命题的“与”,“或”运算;函数可表示为(x)=+0tx-1e-tdt(9)其中:t为积分的中间变量。对协方差矩阵Ca做奇异值分解。由于协方差矩阵具有实对称正定性,故奇异值分解可表示为Ca=X S XT(1 0)其中,S为对角矩阵;变换矩阵X满足X-1=XT。仿真中,先生成一个以S为协方差矩阵的零均值随机向量d,满足:X d(X d)T=X d dTXT=X S XT=Ca(1 1)该方法生成的相位屏低频成分充足,而高频成分相对较少。虽然增加 Z e r n i k e 多项式的项数可在一定程度上解决该问题,但也需付出计算时间方面的代价。2.1.4Z e r n i k e项像差表示面型利用Z e r n i k e像差来表示光学元件的面型,面型偏差可表示为(r,)=Ni=0AiZi(ra,)(1 2)其中:r,为面型偏差的参数;a为光学元件的半径;Ai