函数图象的性质及其应用.doc

函数y=ax+图像性质及其应用的教学设计

广东省中山市华侨中学 杨树春

设计思想: 前后贯穿系统化,相关知识结构一体化, 滚动式.
原则: 由浅入深,循序渐进.利用现代信息技术，但不唯信息技术而论；
知识要点：1.运用函数y=ax+及y=ax2+的图像性质去判断函数的单调性及划分函数y=ax+的单调区间，并用函数单调性定义加以证明。
2.运用上述函数的性质解决相关的一次分式函数与二次分式函数的单调区间及函数值域问题,进一步求二次分式函数在给定区间上的最值.
一.知识网络: 函数y=ax+的图像及其性质
a的情况
b的情况
图像
奇偶性
单调性
最值情况

a>0

b=0

奇函数

增

无

a<0

b=0

奇函数

减

无

a=0

b>0

奇函数
(-∞,0)减
(0, +∞)减

无

a=0

b<0

奇函数

(-∞,0)增
(0, +∞)增

无

a>0

b>0

奇函数
(-∞-]增, [-,0)减
(0, ]减[,+∞)增
当x=时,y最小=2,当x=-时,y最大=-2

a>0

b<0

奇函数

(-∞,0)增
(0, +∞)增

无

a<0

b>0

奇函数

(-∞,0)减
(0, +∞)减

无

a<0

b<0

奇函数
(-∞-]减, [-,0)增
(0, ]增[,+∞)减
当x=时,y最大=2,当x=-时,y最小=-2
二、方法概括: 数形结合 、分类讨论、观察 猜证、类比 合情推理、归纳概括及利用函数单调性求最值等。
三、精典问题回顾:
(一) 基础知识复习:
1.函数y=(x<0)的最大值为 .
2. 函数y=(1≤x≤6)的最大值为 .最小值为 ,
3.函数y=(x>0)的最小值为 .
4.当x>0时,y=3-3x-的最大值是 .
(二) 典型例题:
例1. 求函数y=的单调区间及值域.
解:y===3+
由图可知: 函数y可以看作是由y=向右移动2个单位后再向上移动3个单位而得到的.所以函数在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,函数的值域为 (-∞,3) (3,+∞).
例2.求函数y=的单调区间及函数的值域。
解： y==
=3(x-3)+4+
由图可知:函数y=可以看作是y=3x+分别向右与向上移动3个单位与4个单位后而得到的.所以函数在 (-∞,3-)与(3+,+∞)均为增函数,在(3-,3)与(3,3+)均为减函数,函数的值域为 (-∞,-6]与[6,+∞).
例3.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台。现销售给A地10
台，B地8台。已知从甲地调动1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元。
（1） 设从乙地调运台至A地，求总费用关于x的函数关系式；
（2） 若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
（3） 求出总运费最低的调运方案及最低的费用。
解：由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及费用（元）如下表：

调出地

甲地

乙地

调至地

A地

B地

A地

B地

台数

每台运费

400

800

300

500

运费合计

(1)依题意得

即
（2）由，解得。
所以共有三种调运方案。
（3）由一次函数的单调性知，当时，总运费最低，元。
即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地，调2台给B地的调运方案的总运费最
低，最低运费为8600元。
说明：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的准确建立。
例4.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（ 以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元。
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：因全程运输成本由两部分组成，所以就是两部分的和，第（2）问就是当为何值时，最小。
由题意，得，即.
对任意的，且，易得
。 ①
由 ①知，当2≤时，有，即函数在（0，]单调递减；而当时，，即函数在时单调递增.图形验证:
由此可知，当时，在时取最小值；当时，由于在（0，]上单调递减，从而当且仅当v=c时，取得最小值。
综上所述，可知要使全程运输成本最小，则当1,当x,不等式
f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,求实数m的取值范围.
解:∵当x时, f(x)>1, 即当x时, ax>1, ∴0f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立
∴ a3mx-1>a1+mx-x2>am+2 恒成立
即 3mx-1<1+mx-x20,b>0)性质可知当t[2,]时函数递减,当t[,3)时,函数递增
∴ 当t=2时,y最大=. 当t= 时, y最小=2
∴m<6-=
由1+mx-x2-1-x2 恒成立
当x=1时,显然mR时不等式均成立
当0 - =-(1-x)-+2恒成立
令t=1-x, 则 0-1
综上可知, -1社。在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
2. 某工厂计划建造一座底面为矩形ABCD,深1米且面积为200平方米的三级污水处理≥池(如图).由于受地形限制,矩形的长与宽都不能超过16米,已知池的外墙建造单价为每平方米400元,中间两隔墙建造单价为每平方米248元,池底建造单价为每平方米80元.
（1）试求总造价y(元)与矩形长x(米)之间的函数关系式y=f(x);
（2）求y=f(x)的最小值及其相应的x值.
3.某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的平方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，
⑴试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？
⑵将题中:某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的平方成正比,改为: 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,则应如何求解?
4.求下列函数的单调区间及函数的值域:
①y= ②y= ③y=
附练习参考答案：
1.若设每天从报社买进（）份，则每月共可销售份，每份可获利润0.10元，退回报社份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数，再求的最大值，可得一个月的最大利润.
设每天从报社买进份报纸，每月获得的总利润为元，则依题意，得

函数在上单调递增，时，（元）
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元。
2. 解:(1)∵矩形面积为200,长AB=x,
∴宽BC=,于是外墙长度为2(x+), 隔墙长度为2·,于是由题意可得,
f(x)=400·2(x+)+248·2·+80·200=800(x+)+16000.
又由0故12.5≤x≤16.
∴y=f(x)= 800(x+)+16000(12.5≤x≤16)即为所求.
(2)先证f(x)在[12.5,16]上是单调递减函数.
设12.5≤x10,
由此可得 f(x)在[12.5,16]上是单调递减函数.
∴当x=16时, f(x)小=800(16+)+16000=45000,此时BC=12.5
即当长AB=16米,宽BC=12.5米时总造价最低,最低价为45000元.
3.略
4.略
五.课后思考(可通过引导学生得出a、b值的8种情况，再进一步让学生通过类比、猜想去得到各种情况下函数的图象及其相关的性质，从而培养学生的思维能力)
函数y=ax2+的图像及其性质
a的情况
b的情况
图像
奇偶性
单调性
最值情况

a>0

b=0

偶函数

(减
[0,+)增

当x=0时,
y最小=0

a<0

b=0

偶函数

(增
[0,+)减

当x=0时,
y最大=0

a=0

b>0

奇函数
(-∞,0)减
(0, +∞)减

无

a=0

b<0

奇函数

(-∞,0)增
(0, +∞)增

无

a>0

b>0

非奇非偶函数
(-∞,0)减,
(0, ]减[,+∞)增
当x=时,y最小=3

a>0

b<0

非奇非偶函数
(-∞, ]减,[ ,0)增
(0, +∞)增
当x=时,y最小=3

a<0

b>0

非奇非偶函数
(-∞, ]增,[ ,0)减
(0, +∞)减
当x=时,y最大=3

a<0

b<0

非奇非偶函数
(-∞,0)增
(0, ]增[,+∞)减
当x=时,y最大=3