高中数学选修2-1新教学案：32立体几何中的向量方法(3).doc

3.2 立体几何中的向量方法
（第 3 课时）
【教学目标】
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系.
【重点】
用向量方法判断空间线面平行与垂直关系.
【难点】
用向量方法判断空间线面平行与垂直关系.

【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第 105 页～第 106 页）
1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译“成相应的几何意义.

【基础练习】
【典型例题】
例1 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面
【审题要津】
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
A
B
C
D
E
F
x
y
z
M
N

又平面CDE的一个法向量
由
得到
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
【方法总结】
例2 在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE.
【审题要津】
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
,
因为
所以

所以平面
【方法总结】

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：
根据题设条件，结合图形容易得到：
A
B
C
D
E
P
x
y
z
F

假设存在点F
。

又，
则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得
即有
所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。
本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握.