1、1,第5章 解线性方程组的直接方法,5.1 引言5.2 高斯消去法5.3 矩阵三角分解法 5.4 向量和矩阵的范数5.5 条件数,2,5.1 引言：方程术,3,4,5,6,(r 表示矩阵的行!),7,8,9,5.2.1 高斯消去法,设有线性方程组,（2.1）,或写为矩阵形式,简记为,5.2 高斯消去法,10,11,高斯消去法,12,13,(T表示转置为列向量!),14,高斯消去法的本义：矩阵的上下三角LU分解,15,(单位下三角!),(上三角!),16,(利用矩阵乘法!),17,比较对应位置元素得,18,19,20,例. 对如下矩阵作LU三角分解,(顺序计算元素!),21,矩阵LU三角分解对于
2、求解方程组的实用意义, 求, 求,(三角形方程组好解!),(每步只须解一元一次方程!),(正向前追!),(倒向回赶!),(追赶法!),22,例 用直接LU三角分解法解,先求解,得,再求解,得,得,求解,按顺序得分量，求解,按反序得分量!,23,选取列主元素(绝对值最大的)放到主对角线上！,5.2.3 高斯列主元素消去法,(交换行!),24,(化0!向上三角形演变！),继续选取列主元素！,(再化0),25,(再化0),26,27,28,定理1 (对称正定矩阵的平方根分解或Cholesky分解),如果 为 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵,可以用直接分解方法来确定计算 元素的递推公式.,使,求解 即求解两个三角形方程组：,(依然用比较元素法求解平方根矩阵L!),29,定理2 (对称阵的改进平方根分解定理) 设 为 阶对称阵，且 的所有顺序主子式均不为零，则 可唯一分解为,其中 为对角阵， 为单位下三角阵.,设 为对称正定矩阵，则在分解式 中， 的对角元素 均为正数.,即,(参阅教材257页),30,31,(依然用比较元素法求解平方根矩阵L!),(参阅教材262页分解形式),32,(先解下三角方程组!),33,(再解上三角方程组!),34,(参阅教材264页分解形式),35,(参阅教材264页),36,(参阅教材265页例题5.3.3),37,38,39,
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