平面三公理教学设计（梁竹）.doc

课堂教学设计表
课程名称 数学 设计者 梁竹 单位（学校） 南宁市第三中学
章节名称
必修2．1．1 平面 （第一课时）
学时
1
依据标准
课程标准：理解平面的三个公理．
教育技术标准：SETC·S
本节(课)
教学目标
知识目标： 知道平面的概念；能用文字语言、符号语言和图形语言表述空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，了解三个公理及其作用；
能力目标：通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；通过对生活中平面及其性质的举例、分析、总结归纳过程，培养学生的逻辑推理能力以及体会类比的思想方法；
情感目标：通过学生的观察、实验、操作和思维辩证，培养学生勇于批判、敢于创新的科学精神以及“数学来源于生活”的唯物主义精神．
本节(课)
教学内容
的分析
“平面”是人教版高中数学必修2第2章的起始课．在第1章学生已经从整体角度认识了柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，接下来则需从局部的角
度认识空间几何元素点、线、面的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力．通过本节课的学习，首先学生认识了新的几何元素“平面”及其性质，其次，学生首次经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程，
再次，在直观感受的基础上形成三个公理，学生初步体会欧几里得公理化体系
为后续学习做好准备．因此这节课是有其重要的地位与价值．
与本节
(课)相关
的学生特
征的分析
学生在初中初步学习了平面几何的相关知识，掌握了平面内点、直线的概念和性质．在教学设计时，可以类比“直线”来研究“平面”．通过以前的学习，学生对平面几何已有一定的分析和推理能力，初步具备了学习点、直线、平面之间的位置关系的能力．但学生以前接触的大多是平面图形，习惯于在平面上解决问题，空间想象能力、思维能力较弱．
学法指导
在教学中我会尽量给学生灌输他们才是认知的主体，是教学的主体，更是课堂的主角这一思想．遵循学生的认知规律，尽可能地激发学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过程让学生自己成为学习知识的主动者，同时引导学生走出学习数学概念的烦琐与困境．让学生进一步学会学习，学会探究．

教学方法
启发式，问题导学法
教学重点
理解平面的特点和三个公理，以及能用三种语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系．
教学难点
符号语言和图形语言的准确表示，学习公理的作用和意义．
教学手段
□普通教室 □多媒体教室 □网络教室 □专用教室 □实验室 □其他：
板书设计
平面
1．平面的特征 4．例题
2．平面的图形及符号表示 5．小结
3．三个公理 6．作业

教学过程
一、概念的引入
问题1：观察图中的房屋，有你熟悉的空间图形吗?

进一步用几何画板动态演示从该物体中抽取一个长方体出来，追问：
长方体是由哪些几何元素构成的？
设计意图：从整体到局部，从现实世界中抽象出数学模型，这么一栋赏心悦目的别墅竟然是由一些几何体组成的，让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界里！那么这些几何体到底是怎样的结构呢？接着，以学生熟悉的长方体为载体，提出新的问题，激发学生的兴趣，让学生感到学习数学是必要的、有用的．
点、线面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界．在初中关于点和线，我们已经详细研究过了，那我们今天就和大家一起来探讨一下平面及其基本性质．
二、概念的生成
问题2：（1）生活中有哪些例子给了我们直线形象？（2）直线有哪些基本特征？（3）怎么表示直线？
学生通过讨论给出如黑板的边缘、空中划过的闪电等都给我们以直线的形象，从而教师明确数学中的“直线”就是从同学们所举的例子中抽象出来的． 学生进而给出直线的基本特征如：①直的；②向两边无限延伸；③无粗细．回忆了直线的表示方法：几何上用线段表示直线，但是两边可以无限延长；符号表示是直线AB或者直线a．
设计意图：“抱住”直线学平面！学生曾经学习过直线这一概念，这是他们已有的经验．任何人在学习时总会与自己已有的知识相联系．把直线这一原始概念议论透．对直线概念的研究方法可以类比、迁移到对平面概念的研究中，这也有助学生理解抽象的平面概念．板书时笔者将以上内容作为一列写在黑板的左边，最上边写直线二字；之后，右边写上与直线相对应的平面的有关内容，最上边写平面二字，形成类比直线认识平面的效果．
问题3：（1）生活中有哪些例子给了我们平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？
学生交流举出“桌面”、“黑板面”、“光滑的玻璃”、“平静的水面”等，都给我们以平面的形象．再从这些直观印象中抽象出几何里所说的“平面”．
B
C
D
A
类比直线这一原始概念，不难得出平面具有“平的、无限延展、没有厚薄”的基本特征．再通过类比画线段表示直线，我们画矩形表示平面——观察角度原因——水平放置——成为平行四边形．符号上：类比直线的表示方法，将平面记作：平面ABCD，平面AC，平面．

设计意图：纵观平面概念的生成过程，a
平面a
我们通过类比直线认识了平面，学 生体会到概念形成过程是自然的，对概念理解达到概念学习的水平．同时把直观与抽象，比较与类比这些思维方法贯穿于教学之中．

三、性质的探究
1、公理2
在设计本节教学中，我打破了以往教学的传统，将教材中的公理2放在公理1之前介绍，主要是从学生的认知规律来考虑．首先，你得有一个平面，然后才好说与平面有关的事．
两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？
学生说：不能．
老师继续提问：“在空间中至少需要几个点才能确定一个平面？是三个呢？还是四个、五个呢？”
两位同学为一组，动手做数学实验1．
数学实验1：
用手指头将一块硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？
引导学生归纳出公理2．
设计意图：在动手操作、观察感悟中获取新知．通过做数学实验，让学生感受满足什么条件才可以确定一个平面，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到该公理2的正确性．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
预设：学生可能会忽略“不在同一条直线上”，教师提出问题：在同一直线上的三点，能否确定一个平面？学生回答不行，进一步让学生举出反例．也有学生可能会疑惑为什么是“三点可以确定一个平面？四点、五点可以吗？”另外，通过提问“经过不在同一条直线上的三点的平面只有一个吗？”让学生感受到“有且只有”的内涵．
师生共同探究：如何用图形语言表示公理2，及公理2的作用？
（因为学生第一次碰到文字语言转换为图形语言，确实对他们来说是一个
难点，而且她们是高一的学生，必修二第一章的第一节没有学习）
设计意图：给学生时间思考，画出图形，体会图形的直观．

师生共同体会公理2在生活中的简单应用．比如相机、测量仪器的三角架定位、三角形所在平面的稳定性等都是公理2的实际应用．

公理2的内容不仅给出了确定一个平面的依据，即“过不在一条直线的三点有一个平面”；而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”．另外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内，从而为公理1打下铺垫．
2、公理1
确定“平面”以后，接下来我们就会想到“点”、“线”和新的对象“面”
之间有什么关系了．我们主要探讨线与面，面与面的关系．
对新对象（平面）与已经有的对象（直线）关系的关注——满足什么条件就可以说直线a在平面上呢？
数学实验2：如果把硬纸板看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：
(1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？
(2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？
引导学生归纳出平面的公理1．
设计意图：通过笔和课桌面直观感知原本难以想象的直线和平面的关系，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到公理1的正确性．
公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
师生共同探究：如何用图形语言表示？
师生共同探究： 数学符号更简洁，如何用符号语言表示？
设计意图：点与面，直线与面之间用什么符号表示，让学生点燃思维的火花，最后体会线，面都是点的集合，所以可以借助集合语言表示．
用PPT展示长方体ABCD-A¢B¢C¢D¢ 中点、线、面的位置关系，用集合符号表示，由学生总结．
设计意图：进一步熟悉符号语言，也为以后符号语言的使用打下坚实的基础．

最后回到公理1的三种表示，总结三种语言的特点和公理1的作用．
公理1为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在纸面上画一条直线在平面内提供了理论依据．进一步分析，直线是向两边无限延伸的，无限延伸的直线放在平面上，说明平面也是向四周无限延展的．公理1用直线的“无限延伸性”来检查平面的“无限延展性”．
师生共同体会公理1在生活中的简单应用．比如工人用直棒检查墙面是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否平整．公理1用直线的“直”来检查平面的“平”．
在此，向学生介绍平面的数学史．其实，早在几千年前，数学家们就尝试着用“点”，“直线”去描述平面． 我选取了沃尔夹岗·鲍耶关于平面的定义．沃尔夹岗·鲍耶关于平面的定义可以确定平面是真实存在的，在讲解时，教师借助几何画板演示，让学生直观感知平面的形成过程．

设计意图：对于“平面”这个极其抽象的概念，教材没有说明其存在性，使得学生对平面的存在性产生疑惑，这会影响学生对平面三个公理的学习．此环节让学生真切感受到平面的存在．点动成线，线动成面！
研究活动：课后请同学们查阅相关书籍，借助网络，了解平面概念的发展史，撰写研究报告．
设计意图：通过了解平面的数学史，让学生了解自己出现的困惑，其实数学家们也同样经历过据． 借此活动向学生传达这样一个事实：无论是赫赫有名的数学家，还是普通的人，对事物的认识都经历着从不准确到准确最后到完善的过程，而真正起到决定作用的是人类的执着精神！
3、公理3
数学实验3：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
引导学生归纳出平面的公理3．
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
预设：可能学生在归纳公理3时会忽略“有且只有”，教师可通过提问：“两个不重合的平面，如果有一个公共点，因为平面是向四周无限延展的，那么一定有一条过该点的公共直线．它们还有除了这条交线以外的公共点吗？”帮助学生理解“有且只有”的内涵．
师生共同探究：如何用图形语言和符号语言来表示？
（三个公理中最难的就是公理3的图形语言和符号语言的转化，在教学时我设计了用硬纸板做了一个两平面相交的模型，再用PPT来展示相交的画法，让学生直观的感受继而画出正确的图形语言，来突破难点．）
教师用教具摆出不同的两个平面相交的状态，让学生观察并作图，师生共 同评价修改．

设计意图：提高空间想象能力是立体几何教学的主要目的．因此，我们在本 节课中应突出作图，这是帮助学生形成空间观念的有效途径．
师生共同体会公理3的作用．
思考：如果一个曲面和一个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．这个说法是否正确，请说明理由．
教师指出：在几何中， 借助点、直线 、平面的相互位置关系能刻画平面的“平”．支撑平面三公理成立的基本条件是平面必须是“平”的．
设计意图：学生对平面的认识还是停留在视觉映像和感性状态，根本谈不上数学地审视平面的特征．正面去说明平面的“平”相对较难，根据“正难则反”的原则，先从“不平”下手，再通过否定之否定，最终达成“平”的目的．通过“背景（生活实例）——否定（说明不平）——性质（三公理）——在否定（正面定义）”帮助学生理解平面的“平”．
巩固练习： 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划“√”, 错误的划 “×”．（课本练习题改编）
(1)平面与平面相交，它们只有有限个公共点． ( )
(2) 三点确定一个平面． ( )
(3) 经过两条相交直线有且只有一个平面． ( )
(4) 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． ( )
设计意图：通过练习，加深学生对三个公理的认识．
四、课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获?
师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见．
知识：通过这节课的学习，我们认识了平面及其基本的特征，初步感知了点、线、面的位置关系，并通过研究得到了三个公理：……．
方法：在本节课中，我们经历从具体与抽象、类比与比较的方法认识了新的几何元素“平面”及其性质，同时还学习了用三种数学语言来表示这些知识． 希望大家能通过今天的学习能够初步建立起空间的观念．
思想：公理的出现，是一个由无到有的过程，并通过逐渐演绎推理，由少到多，由简到繁，进而得到我们现在学习、研究的几何体系，我们可以称这种思想方法为公理化思想．
实际上，今天我们不仅仅是在研究平面及其三个公理，也经历了公理的形成过程，即实验操作，直观感受，文字描述，图形、符号表示．
思考：继续用类比的思想、联系的观点，以及延续本节课研究三公理的基本套路，你预见我们研究线面平行，线面垂直等判定定理、性质时可从什么地方入手？
设计意图：（1）本节课用了较大的精力去抽象公理，一方面，希望学生能够认识到探索过程的价值；另一方面，希望学生通过这节课，经历公理的形成过程，体会其中蕴涵的合理的思维方式和数学思想，从而得到研究新事物的基本套路．（2）为检查学生对本节课的学习认识深度的理解水平，以及继续激发与保护学生的探索兴趣，教师引导学生预见继续研究几何中定理、性质的方向．
课外延伸：平面概念的发展史

分层作业

必做：
（1) P43练习：1，2，4
(2) P51习题2．1A组：1,2
探究：如图是一个正方体表面的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB， CD， EF，GH 这四条直线相互是什么位置关系?