广东省佛山市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题.docx

广东省佛山市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1._____ 横线上可以填入的符号有（ ）
A.只有 B.只有
C.与都可以 D.与都不可以
2.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.设，，集合，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，设，，，，且不等于，，，，在同一坐标系中的图象如图，则，，，的大小顺序（ ）

A. B. C. D.
6.设函数，用二分法求方程的解，则其解在区间（ ）
A. B. C. D.
7.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）

A. B. C. D.
9.函数满足，那么函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
10.若符合：对定义域内的任意的，，都有，且当时， ，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）
A. B. C. D.
11.，的零点为，，的零点为，，的零点为，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.的图象与的图象有个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则______．
14.设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是______．
15.函数（常数）为偶函数且在是减函数，则______．
16.已知，在区间上的最大值记为，，则的最大值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设．
（1）化简上式，求的值；
（2）设集合，全集为，，求集合中的元素个数．
18.已知函数．
（1）判断奇偶性并证明你的结论；
（2）解方程．
19.幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即．

（1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域；
（2）求函数的值域．
20.已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明．
21.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则有，其中表示环境温度，称为半衰期且．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放置在的房间中分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到，共需要多长时间？（，结果精确到）
22.设二次函数，，．
（1）若满足：对任意的，均有，求的取值范围；
（2）若在上与轴有两个不同的交点，求的取值范围．

广东省佛山市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试
数学试题参考答案
1-5：CAACC 6-10:ABDCB 11-12：BA
1. 【解析】
解：，
或．
故选：C．
利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【解析】
解：的定义域为；
满足；
解得；
的定义域为．
故选：A．
根据的定义域即可得出需满足：，解出的范围即可．
考查函数定义域的概念及求法，已知定义域求定义域的方法．
3.【解析】
解：，
，，
故选：A．
利用对数函数的单调性进行求解．当时函数为增函数当时函数为减函数，
如果底不相同时可利用做为中介值．
本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用做为中介值．
4.【解析】
解：根据题意，集合，
又，
，即，
，
；
故，，
则，
故选：C．
根据题意，集合，注意到后面集合中有元素，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．
本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．
5.【解析】
解：作辅助直线，当时，

，，，的函数值正好是底数、、、
直线与，，，交点的纵坐标就是、、、
观察图形即可判定大小：
故选：C．
要比较、、、的大小，根据函数结构的特征，作直线，与，，，交点的纵坐标就是、、、，观察图形即可得到结论．
本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
6.【解析】
解： ，，
根据零点存在定理，可得方程的根落在区间内．
故选：A．
根据二分法求区间根的方法只须找到满足即可．
本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
7.【解析】
解：依题意，函数的定义域为，即恒成立．
①当时，得，故适合
②当时，，得，
综上可知
故选：B．
由题意知，函数的定义域为，即恒成立．①分；②，，求出的范围即可．
考查学生理解函数恒成立时所取的条件，以及会求函数的定义域，要注意分类讨论思想的应用．
8.【解析】
解：由图象可得：这年间电影放映场次逐年变化规律的是随着的增大，逐渐增大，图象逐渐上升．
对于．，取，，可得满足条件的函数；
对于．取，，可得满足条件的函数；
对于．取，，可得满足条件的函数；
对于．时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；时，为单调递减函数，不符合图象的特征．
故选：D．
由图象可得：这年间电影放映场次逐年变化规律的是随着的增大，逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．
本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【解析】
解：，
，解得．

当时，函数单调递增，且；当时，函数单调递减．
故选：C．
利用，可得，解得．于是，分类讨论：当时，当时，函数单调性质，及即可得出．
本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．
10.【解析】
解：对定义域内的任意的，，都有，说明函数是指数函数，排除选项C，D；
又因为：时，，所以排除选项A；
故选：B．
利用好函数的定义，判断选项的正误即可．
本题考查好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．
11.【解析】
解：在坐标系中画出：，，，的图象．如图：

，的函数的零点在且靠近，
函数的零点在之间，
，函数的零点在之间且靠近，
、、的大小关系为．
故选：B．
根据三个函数等于，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系．
本题考查函数的零点，本题解题的关键是把函数的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，注意基本初等函数的图形的应用．
12.【解析】

解：是偶函数，恒过，在平面直角坐标系值画出函数的图象，如图：可知直线经过与时，两个函数的图象有个交点，
所以，的取值范围是：．
故选：A．
画出两个函数的图象，利用数形结合转化求解即可．
本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．
13.【解析】
解：，
令，解得
则．
把换成，可得．
故答案为：．
，令，解得，代入化简即可得出．
本题考查了换元法求函数解析式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
解：设，则，又因为函数是奇函数，
所以 ．
故答案为．
设，则，然后将代入时的解析式，结合奇函数的性质易求得此时函数的解析式．
本题考查了函数的奇偶性在求解析式时的作用，主要是体现了转化思想的应用．
15.【答案】
【解析】
解：函数（常数）在是减函数，
，解得，
，，
若，则，为奇函数，不满足条件．
若，则，为偶函数，满足条件．
若，则，为奇函数，不满足条件．
故，，
则，
故答案为：
根据幂函数的定义求出a的值，即可．
本题主要考查函数值的计算，根据幂函数的定义和性质求出a是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】
解：作出函数的图象如图：

当时，，
当时，，即函数的最大值为，
在区间上的最大值记为，
当在变换中，的最大值即为的最大值，
故答案为：
结合分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数最值的应用，结合分段函数的解析式作出条件，利用数形结合是解决本题的关键．本题看似难度很大，其实比较简单．
17.【答案】解：（1）原式=

（2），，，
所以中元素个数为．
【解析】
（1）根据根式和对数化简求出的值
（2）求出集合,结合元素个数进行判断即可
本题主要考查根式与指数幂的化简，以及集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键
18.【答案】解：（1）根据题意，为奇函数；
证明：，所以定义为，关于原点对称；
任取，
则．
则有，为奇函数；
（2）由（1）知，
，即，
，
即，
或，
又由，则有，
综上，不等式解集为
【解析】
（1）根据题意，先求出函数的定义域，再分析与的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；
（2）根据题意， ，即求出的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域．
19.【答案】解：（1）的图象，如图：函数的定义域为．

（2）设，则 ，当时取等号，
故值域为．
【解析】
（1）由题意利用幂函数的图象和性质，画出的图象，并注明定义域．
（2）换元，利用二次函数的性质，求得函数的值域．
本题主要考查幂函数的图象和性质，二次函数的性质，属于基础题．
20.【答案】解：（1）根据题意，为奇函数，则，
即，解可得；
（2）由（1）的结论，，在上为增函数；
证明：任取，，且，
则，
又由，，且，则，，，
则有，
所以函数在上单调递增．
【解析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得的值，即可得答案；
（2）根据题意，任取，，且，由作差法分析的符号，由函数单调性的定义分析可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出的值，属于基础题．
21.【答案】解：由条件知，，，．
代入，得，
解得；
如果要降温到，则．
解得．
答：此时咖啡的温度，要降温到，共需要约分钟．
【解析】
直接把题中公差的相应条件代入函数解析式求解．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了函数值的求法，是中档题．
22.【答案】解：（1）恒成立，
所以，方程无实数解
所以，取值范围为
（2）设的两根为，，且，
则，
所以

又因为，不能同时取到，
所以取值范围为．
【解析】
（1）由恒成立可知方程，结合二次方程根的存在条件可求
（2）由题意可设，而，结合方程的根与系数关系及完全平方数的关系可求
本题主要考查了二次函数的性质及方程的根与系数关系的简单应用，属于中档试题