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反比例函数概念内涵
宝鸡教育学院 任亚莉 邮编721000

一、 问题缘由：二零一一年十一月中旬学校组织全校教师到渭滨区马营中学听课，我听了一节九年级数学课，老师讲课内容是反比例函数概念.
讲课过程:
问题一 在舞台灯光设计中，有关电流I、电压V、电阻R三者之间关系为IR=V其中V=220伏，1、你能用含有R的代数式表示I吗？
2、完成表格
R
20
40
60
80
100
I

当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小时呢？
3、变量I是R的函数吗？为什么？
问题二 西安—宝鸡距离为173公里，汽车平均速度v与时间t关系,满足.汽车行完全程所需的时间t与行驶的平均速度v之间有怎样关系？变量t是v的函数吗？
经过师生讨论,这两个问题满足函数关系，且自变量与因变量乘积是不等于零的定值的同一类问题.
引入两个变量乘积为定值时，这两个变量的函数关系是一个新的函数.定义为反比例函数.教师给出反比例函数定义
反比例函数定义：一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数,)的形式,,那么称y是x的反比例函数. 反比例函数的自变量x不能为零.
反比例函数其他形式:①；
② ;
③.
例:判断下列函数是否为反比例函数?
① ②；③；④；⑤；
⑥⑦⑧⑨；⑩
结论：③，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩是反比例函数,其余不是.老师说④时,说y是的反比例函数;说⑤时,说y是x+1的反比例函数.
老师的结论是值得商榷的有几点:
1、④，⑤的说法不对，它们不是反比例函数.确切的说法:④，⑤是基本初等函数复合的初等函数.
2、⑧不一定是反比例函数,它在“a是常数,x是自变量,y是因变量时,是反比例函数;”它在“a,x都是自变量,y是因变量时,它是二元函数”;它在 “x是常数,a是自变量,y是因变量时,它是二次函数.”
3、反函数的其他形式中①；确切说是用方程表示的符合反比例函数关系的隐函数.
4、反函数的其他形式中②，确切说是幂函数和常量函数的复合的初等函数.
二、提出问题
反比例函数其他三种形式,实际只有①、②两种, ③与定义相同，只是写法形式不一样.
①为什么起名为反比例？
②反比例函数概念的实质内涵是什么？
③当自变量x与因变量y的积是零,即xy=0,它的实质是什么?
④双曲线图像与反比例函数关系:
三、解决问题
①原因：反比例关系就是用xy=k(一定值）,k不等于0来表示.简单点来说，就是如果一样事物增加了，另一样事物减少，它减少了，另一样事物增加，这两个事物的关系就叫做反比例关系.在总数与份数关系中，包含总数、份数和每份数.当总数一定时，每份数和份数是两种相关联的变量.如果每份数变化，份数也随着变化.同样如果份数变化，每份数也随着变化.它们的变化，无论扩大还是缩小，相对应的两个量的乘积（也就是总数）一定.具体说，当总数一定时，每份数（或份数）扩大或缩小若干倍，份数（或每份数）反而缩小或扩大相同的倍数”.具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系.反比例关系在典型应用题中属于归总问题.反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反比例关系.在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系.在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系.如果再把总数与份数关系具体化为：在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系.在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系。
②反比例函数概念的实质内涵是自变量x与因变量y的积是不为零的定值, 反比例函数的自变量x不能为零.
所以反比例函数表达式写法有二种一个是显函数写法: ,其中x不等于零,如(k为常数,)或者写为,还有一种写法就是写成二元方程形式的隐函数写法: 其中x不等于零,如xy=k(k≠0)；不管写成,还是写成,它们的实质都是自变量x与因变量y的积是不为零的定值, 反比例函数的自变量x不能为零.
从而我们能判上面定例题中③，⑥，⑦，⑧，⑩都是反比例函数,⑨在a是常数时是反比例函数.
③当自变量x与因变量y的积是零,即xy=0,它的实质是什么?
由于xy=0即是x=0或者y=0.
故我们可以把它看作是符合函数关系,一种给自变量x一个值,相应因变量y有唯一一个值0(不论x为何)都与它对应.它实际是一个常量函数y=0,图像为x轴.一种是给自变量y一个值,相应因变量x有唯一一个值0(不论y为何)都与它对应.它实际是一个常量函数x=0,图像为y轴.
我们还可以把它看作是一个二元二次方程模型.图像是两坐标轴.
④双曲线图像与反比例函数图像关系:我们知道反比例函数图像是双曲线。但是在坐标系中给一个双曲线，它所对应的式子不一定是反比例函数的式子.如双曲线方程，它只是二元二次方程，图像是双曲线，但不是一个函数关系.可是我们有二元二次方程,是反比例函数.在解析几何中我们知道经过坐标平移变换（简称平移）和旋转变换（简称旋转）,二元二次方程的图像有五种情形，椭圆、虚椭圆、一个点（或一对共轭虚直线）、双曲线、二相交直线.故我们结论是二次方程只有在是表达式时是反比例函数.要平移或旋转后图像是双曲线的，只是一个二元二次方程,不符合函数定义.

参考文献: 1王敬庚 傅若男 空间解析几何 北京师范大学出版社1999.8
2孔凡哲 章飞数学<义务教育课程标准实验教科书>,九年级 上册. 北京师范大学出版社 2003.8