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如何获取更多的利润

例1 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T（件）与每件的销售价x（元／件）可以看报是一次函数：T＝－3x＋207（45≤x≤69）
（1）写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差）。
（2）通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？
分析：每天总销售价为Tx，即（－3x＋207）x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45（－3x＋207），而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第（2）小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范围确定最佳售价。
解：（1）由题意得：
Y＝（－3x＋207）x－45（－3x＋207）
＝（－3x＋207）（x－45）（45≤x≤69）
（2）由（1）知
y＝（－3x＋207）（ x－45）
＝－3（x2－114x＋3105）
＝－3（－57）2＋ 432（45≤x≤69）
由图像知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69。

∴当x＝57时
Ymax＝432
亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？
评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：
1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？
2．该服装的售价可以超过69元吗？
3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？
例2 共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x（元）与产品的月销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
130
150
165
y（件
70
50
35
若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？
（销售利润＝销售价－成本价）
分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。
①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y（件）与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。
②以表格形式给出了x（元）与y（件）的对应关系，并进而指出销售量y是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。
③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y（x的一次函数）与每件产品销售利润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。
④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。
解：设y＝kx＋b，当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，得方程组：解得：
∴ y＝－x＋200
设每日销售利润为Z元，每件产品的销售利润是（x－120）元，于是

∴当时，
即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。
例3 某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x元，将有200x张门票不能售出。
（1）求提价后每场电影的票房收入y（元）与票价提高量x（元）之间的函数关系式和自变量x的取值范围。
（2）若你是经理你认为电影院应该怎样决策（提价还是不提价），若提价，提价多少为宜？
分析：若提价x元后，则每张票价变为（x＋3）元，出售的门票总数为：（1000－200x）张，则票房的收入变为：（x＋3）·（1000－200x）。
至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y是提高的价x的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。
解：（1）由题意知：

又
∴ x的取值范围是：
（2）

又
∴当时，。
∴ 电影院应每张门票提价1元为宜。
接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？
例4 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。
（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x元间的函数关系式，并利用函数的性质说出（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不等式（组）、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。
（1）A、B两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组，从而确立A、B两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。
（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。
解：（1）设安排生产A种产品。件，则生产B件产品（50－x）件。依题意，得
解之，得
∵x为整数，∴x只能取30，31，32。
相应的（50－x）的组为20 19，18。。
所以生产的方案有三种：
第一种：生产A种产品30件，B种产品20件；。
第二种：生产A种产品31件，B种产品19件；’。
第三种：生产A种产品32件，B种产品18件。。
（2）设生产A种产品件数为x，则生产B种产品的件数为50－x。
依题意，得

其中x只能取30 、31、32，

∴此一次函数中y随x的增大而减小。
∴当x＝30时，y的值最大。
故按第一种方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：－500×30＋60000＝45000元。
例5 某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元。求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析。

解：总成本与总产量的关系
Q＝2000000＋3000x，
单位成本与总产量的关系

销售收入与总产量的关系：R＝5000x。
利润与总产量的关系。
分析：①从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下），若x＜1000，则要亏损；若x＝1000，则利润为零；若x＞1000，则可盈利。这一点也可以从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。
②从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益。
例6 今拟建一排4门的猪舍（如图），由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造p米，问x为多少时，猪舍面积最大？

∴当米时，猪舍面积最大。
答：米时，猪舍面积最大。
说明：本题列式的关键，在于找出长方形的长和宽。对于求极值，是否采用配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。
现代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要载体。正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。下面我们就来研究一下报摊卖报的问题，请你帮助业主设计一下最佳办法。
例7 某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月（30天）里，有20天每天可销售400份，其余的10天仅售250份。但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？
分析：本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式，从而解决问题。
解：设每天从报社购进x份（），每月售出（20x＋10×250）份，退回10（x－250）份，由于卖出获利，退回亏损均为008元，则
y＝0.08（20＋2500）－ 0.08（x－250）×10＝0.8＋400
这显然是一个k＞0的一次函数，函数值y随着自变量x的增大而增大的，所以
当x＝400时， ymax＝720（元）。
答：应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。
说明：此题是一道十分典型的应用题。它适用于卖报、卖书、卖书刊。随着数字的变化，可编撰成一道道试题。但是解法却是不变的，应注意此题的解法。
例8 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上画出一块长方形地面（不改变方向），建造一幢8层楼公寓。问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到 1m2）。

分析：在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线，即可保持原来方位，画得一块长方形土地。显然，土地面积决定于P在AB上的位置。
解：建立如图所示的坐标系，则AB的方程为过A（0，20）、B（30，0）则的一条直线。设直线 AB的方程为y＝ ka＋b则又因为A、B两点在直线上，

。由于P点在直线上，故可得P点的坐标为（∴ P点坐标满足函数的解析式），则长方形的面积为：

化简得：
对函数的解析式进行配方得

当时，。
说明：由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，这也是应用题与通常题目的一个重要区别。
例9 某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5％，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？
解：设该楼建成x层，则根据题意得每平方米的购地费用为：（元）
每平方米的建筑费用为：400＋400（x－5）·5％（元），所以每平方米的平均综合费用为：

即得含费用最少为
可见公司应该把楼房建成7层。
上面的例子是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。有多少家梦想住人宽广静适的套房啊！下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。
例10 某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金，办法如下：
每月工资数
公积金
100元以下
不交纳
100～200元
交纳超过100元部分的5％
200～300元
100～200元部分交纳5％，200～300元部分交10％
300以上
100～200元部分交纳5％，200～300元部分交10％300元以上部分交纳15％
设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，求y与x之间的关系式，并画出图像。
解：①当0＜x＜100时，y＝x
②当100≤x＜200时
y＝100＋（x－100）（1－5％）＝0.95x＋5
②当200≤x＜300时
y＝100＋100（1－5％）＋（x－200）（1－10％）=0.9x＋15
②当时
y＝100＋100（1－5％）＋100（1－10％）＋（x－300）（1－15％）
＝0.85x＋30

说明：此题系分段函数，其对x的取值范围的讨论具有典型性，即应本着既不重复，也不遗漏的原则。凡关于一些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解。
某生产队有60米长的一段篱笆，现用来围一个矩形的苗圃，一面可以利用一条小溪作天然屏障，问应怎样围法，可使苗圃面积最大？

分析：此题可利用长和宽的关系，建立函数，设法求出最大值。
解法一：配方法
设矩形宽是x，则矩形的长为令苗圃的面积为y，则

∴当时，。
解法二：极值定理法
由解法1得：

答：苗圃长30米，宽15米时，最大面积为450米。
说明：这类面积解法都是常规的解法，但解法2是竞赛内容。
例11 某校办工厂现在年产值是15万元，如果增加100元投资，一年可增加250元产值。
（1）求总产值y（万元）与新增加的投资额x（万元）之间的函数关系式。
（2）如果增加1.5万元投资，年产值可达多少？
分析：（1）依题意，，这里万元，关键是确定的值，因为增加100元投资，一年可增250元产值，则每增加1万元投资，一年可增加2.5万元产值。所以总产值y与新增加的投资x之间的函数关系式为：
，这是一个一次函数。
（2）当万元，（万元）。因此，如果增加1.5万元投资，年产值可达到18.75万元。