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高三数学基础知识专练 数列的通项与求和
一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)
1、设数列{an}的首项且，则a4= ..
2、在数列{an}中，a1=1,a2=2，且an+2－an=1+(－1)n(n∈N*)，则S100= ..
3、已知数列{an}的前n项和为Sn=n2－4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是____.
4、已知直线l上有一列点P1(x1,y1),P2(x2,y2)…Pn(xn,yn),…其中n∈N*,x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段所成的比为.请写出xn+2与xn+1, xn之间的关系式__
2、
5、某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________.
6、数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2，则常数p的值为________.
7、已知数列{an}，构造一个新数列a1,a2－a1,a3－a2,…an-an-1…此数列是首项为1，公比为的等比数列，则an= .
8、在小于100的正整数中被3除余2的所有数的和是___________.
9、一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，发现一个正三角形的岛屿(边长为)，如图1；第二次观测时，发现它每边中央
3、处还有正三角形海岬，形成了六角的星形，如图2；第三次观测时，发现原先每一小边的中央处又有一处向外突出的正三角形海岬，如图3，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型——柯克岛.若把第1,2，3，…n次观测到的岛的海岸线长记为a1,a2,…an则an(n∈N*)的表达式为________.
10、设a1,a2,…,a50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107，则a1,a2,…,a50中有0的个数为_______.
11、对任意实数x,y，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)－xy－1
4、若f(1)=1，1
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则对于正整数n,f(n)的表达式为__________.
12、如下图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第2个数是______.
13、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0{an}的部分项组成的数列ak1,ak2,…,akn恰为等比数列，其中k1=1,k2=5,k3=17，则kn= .
14、已知，观察下列运算，
定义使为整数的k(k∈N*)叫做企盼数.试确定当时，企盼数k=____
5、
二.解答题
15. 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
16. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
参考答案
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2、2600
3、66
4、
5、14
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7、
8、1650
9、
10、11
11、
12、
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15. 解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
7、代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．
16. （1）.
（2）， ，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
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