建模选修期末建模题解答1.doc

数学模型选修

钢
管
问
题

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问题简介：
现有15米长的钢管若干，生产某产品须4米、5米、7米长的钢管各100、150、120根。
（1）问如何截取才可使原材料最省，试建立模型。
（2）客户增加需求：6米钢管100根，问如何截取才可使原
材料最省，试建立模型
（3）由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
钢管下料问题1
模型准备：
合理切割模式
模式
4米钢管根数
5米钢管根数
7米钢管根数
余料（米）
1

3
0
0
3
2
2
0
1
0
3
2
1
0
2
4
1
2
0
1
5
0
1
1
3
6
0
0
2
1
7
0
3
0
0

模型假设：
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？
两种标准
1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量）
模型构成：

模式
4米钢管根数
5米钢管根数
7米钢管根数
余料（米）
1
3
0
0
3
2
2
0
1
0
3
2
1
0
2
4
1
2
0
1
5
0
1
1
3
6
0
0
2
1
7
0
3
0
0
需求
100
150
120

约束 满足需求

整数约束： xi 为整数
模型求解：
最优解： x2=120 x7=50
其余为0；
最优值：
按模式2切割120根,按模式7切割50根，共170根，余料0米。
目标2（总根数）
模型构成：

约束条件不变

xi 为整数
模型求解：
最优解： x2=50 x6=35 x7=50
其余为0；
最优值：135。
模型结果分析：
按模式2切割50根，按模式6切割35根，按模式7切割50根，共135根，余料35米
与目标1的结果“共切割170根，余料0米” 相比
虽然余料多35米，但根数却少了35根
当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
因此以模式2切割最合适。
模型假设，模型构成，模型求解，模型分析
钢管下料问题2
增加一种需求：6米100根；切割模式不超过3种。
模型准备：
现有4种需求：4米100根，5米150根，6米100根，7米120根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。
对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
模型构成：
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和7米长的钢管的数量
目标函数（总根数）

约束条件 满足需求

模式合理：每根余料不超过3米

整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数
整数非线性规划模型
增加约束，缩小可行域，便于求解
需求：4米100根，5米150根，6米100根，7米120根
每根原料钢管长15米
原料钢管总根数下界

特殊生产计划：对每根原料钢管
模式1：切割成1根4米，1根5米和1根6米钢管，需100根；
模式2：切割成1根5米和1根7米钢管，需50根；
模式3：切割成2根7米钢管，需35根。
原料钢管总根数上界：100+50+35=185

模式排列顺序可任定

模型求解
LINGO求解整数非线性规划模型
Local optimal solution found.
Objective value: 177.0000
Extended solver steps: 120
Total solver iterations: 3337

Variable Value Reduced Cost
X1 100.0000 1.000000
X2 60.00000 1.000000
X3 17.00000 1.000000
R11 1.000000 0.000000
R21 1.000000 0.000000
R31 1.000000 0.000000
R41 0.000000 0.000000
R12 0.000000 0.000000
R22 0.000000 0.000000
R32 0.000000 0.000000
R42 2.000000 0.000000
R13 0.000000 0.000000
R23 3.000000 0.000000
R33 0.000000 0.000000
R43 0.000000 0.000000

模型结果分析
模式1：切割成1根4米，1根5米和1根6米钢管，需100根；
模式2：切割成2根7米钢管，需60根；
模式3：切割成3根5米钢管，需17根。
原料钢管总根数为：100+60+17=177根