2015届天津市七校高三4月联考-文科数学试题及答案.doc

七校联考高三数学（文科）试卷 2015.4
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生将务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上，并在规定的位置填涂信息点。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题，共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分）
1.设虚数单位为，复数为（）
A. B. C. D.
2.设变量、，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
3.阅读下面程序框图运行相应的程序，若输入的值为-8，则输出的值为（）

A.0 B.1 C. D.
4.方程的根所在区间为（）
A.（3,4） B.（2,3） C.（1,2） D.（0,1）
5.若集合，集合，则下列判断正确的是（）
A.，是的充分必要条件；
B.，是的既不充分也不必要条件；
C.，是的充分不必要条件；
D.，是的必要不充分条件。
6.已知双曲线的一条渐近线与平行，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）
A. B. C. D.
7.已知的最小正周期为，将的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图像向右平移个单位长度，所得的图像关于原点对称，则的一个值是（）
A. B. C. D.
8.在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值是（）
A.0 B.-9 C.-18 D.-24

第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分）
9.已知命题：使得,则：
10.若数列是首项为，公比的等比数列，是其前项和，且是与的等差中项，则
11.一个几何体的三视图（单位：），则该几何体的体积为

（12题）

12.如图，已知为⊙O的切线，为切点，是⊙的内接三角形，交于，交⊙于，若，，，，则
13.过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当面积取得最大值时，直线斜率为
14.若函数有且只有个不同零点，则实数的取值范围是
三、解答题：（15-18题各13分，19、20各14分，共80分）
15.某公司有一批专业技术人员对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
学历
岁以下
岁
岁以上
本科

研究生

（1）用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至少有人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人，其中岁以下人，岁以上人，再从这个人中随机抽出人，此人的年龄为岁以上的概率为，求、。
16.已知分别为三个内角的对边，
（1） 求角
（2） 若，的面积为，求
17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点。
（1）证明：
（2）证明：平面平面
（3）求二面角的正弦值
18.已知函数
（1）当时，求函数在处的切线斜率及函数的单减区间；
（2）若对于任意，都有，求实数的取值范围。
19.已知椭圆的中心为坐标原点，一个短轴端点，短轴端点和焦点所组成四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B,
（1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围。
20.已知数列，，
（1）证明是等比数列
（2）若，求数列的前项和
（3）证明
七校联考高三数学（文科）答案
2015.4
一、选择题：
1-4:ABDB 5-8:DDAC
二、填空题：
9.都有； 10.57；
11.44； 12.4； 13 14.
三、解答题：
15、（本小题满分13分）
解:（1）用分层抽样的方法在35-50岁中抽取一个容量为5的样本
设抽取学历为本科的人数为m，则 2分
所以，抽取的学历为研究生的人数为2，学历为本科的人数为3，分别记为。从中任取2人，所有的基本事件有：
{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{,}，{，}，{，}，{，}共10个 4分
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{,}
所以，从中任取2人，至少有1人的学历为研究生的概率为 6分
（2）依题意得： 8分
35-50岁中被抽取的人数为：78-48-10=20 10分
12分
解得： 13分

16.（本小题满分13分）
解：（1）由及正弦定理得：
2分

3分
即 5分
又
7分
（2）， 9分
又，即 11分
由联立解得： 13分

17.（本小题满分13分）
证明：（1），， 1分
又， 3分
4分
（2） 5分
6分
又
7分
8分
（3）
10分
设

11分
12分
所以,二面角的正弦值为 13分
18.解：（1）

当时， 1分
2分
由，解得：
所以，的单减区间为： 4分
（2）
令，求得： 5分
若对任意都有等价于在上的最小值 6分
当，即时，在上恒成立，在单调递减
，只需，又
8分
当，即时，
（i）若，即，则在上恒成立，
在单调递减，
10分
（ii）若，及

0

单减
极小值
单增

12分
综上：的取值范围为： 13分

19.（本小题满分14分）
解：（1）由题意可知椭圆的焦点在y轴上
设椭圆的方程为：
由题意知：，又 3分
所以，椭圆方程为： 4分
（2）设，由题意知，直线l的斜率存在
设直线方程为：

则，
6分
又由，即，得
即 8分
可得：，整理得：
又时不符合题意， 10分
解得：，此时 11分
解得;或
所以，的取值范围为： 14分

20.（本小题满分14分）
解：（1） 1分
，
所以，是以2为首项，2为公比的等比数列。 3分
（2） 4分
6分

8分
（3） 10分
11分
又
， 12分

综上： 14分

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