2024年经济数学基础春线性代数部分期末复习指导.doc

经济数学基础（08春）线性代数部分期末复习指引

线性代数部分

第二章，矩阵

考试要求：
　　⑴ 了解矩阵概念，了解矩阵可逆与逆矩阵概念，懂得矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念；
　　⑵ 纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几个运算的有关性质；
　　⑶ 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．
　　⑷ 了解矩阵初等行变换的概念，纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．
重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变换。

经典例题

一、单项选择题
1．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ ）能够进行.
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
答案:A
2．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）
　　A. 　 　 B.
C. D.
答案：B
3．设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（　 ）．
　　A. 若AB = I，则必有A = I或B = I　 　 B.
C. 秩秩秩 D.
答案：D
4．设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ ）．
A． B． C． D．
答案D
5．设是可逆矩阵，且，则（　 ）.
A. 　　 　B. 　　 C. 　　D.
答案C
6．设，，是单位矩阵，则＝（ ）．
A． B． C． D．
答案 D
7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ ）成立.
A．AB = AC，A ¹ 0，则B = C B．AB = AC，A可逆，则B = C
C．A可逆，则AB = BA D．AB = 0，则有A = 0，或B = 0
答案：B

二、填空题
1．两个矩阵既可相加又可相乘的充足必要条件是 　　　 　　　.
答案：同阶矩阵
2．若矩阵A = ，B = ，则ATB= ．
答案
3．设，当　　 　 　 时，是对称矩阵.
答案：
4．当 时，矩阵可逆.
答案：
5．设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解　　　
　　．
答案：
6．设为阶可逆矩阵，则(A)= ．
答案：
7．若矩阵A =，则r(A) = ．
答案：2

2.计算题
（1）设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1．
解 因为BA==
(BA I )=

（2）设矩阵，是3阶单位矩阵，求．
解：由矩阵减法运算得

利用初等行变换得

即　　　　
（3）设矩阵，求．
解：利用初等行变换得

即　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　
由矩阵乘法得

第三章 线性方程组

考试要求：
　　⑴ 了解线性方程组的有关概念，纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解；
⑵ 了解并纯熟掌握线性方程组的有解判定定理．

重点：线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解

非齐次线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
AX = b有唯一解的充足必要条件是秩() = 秩(A) = n；
AX = b有无穷多解的充足必要条件是秩() = 秩(A) < n；
AX = b无解的充足必要条件是秩() ¹ 秩(A)．
对应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
AX = 0只有零解的充足必要条件是 秩(A) = n；
AX = 0有非零解的充足必要条件是 秩(A) < n．

经典例题：

一、单项选择题
1．若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（ ）时线性方程组有无穷多解．
A．1 B． C．2 D．
(答案D)

2． 若非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解．
A．秩(A) ＝ n B．秩(A)＝m C．秩(A）¹ 秩 () D．秩(A）= 秩()
(答案C)
3．线性方程组 解的情况是（ 　）．
　　A. 无解　　 　B. 只有0解　　 C. 有唯一解　 　 　 D. 有无穷多解
答案 A
　　4． 线性方程组只有零解，则（ ）.
A. 有唯一解　　　 B. 也许无解 　　 C. 有无穷多解　　 D. 无解
答案B
5．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）．
A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解
答案B
6．设线性方程组有唯一解，则对应的齐次方程组（ ）．
A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定
答案C

二、填空题
1．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b ．
答案：无解
2．若线性方程组有非零解，则 ．
答案：
3．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．
答案：
4．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .
5．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当　 　时，方程组有无穷多解.
答案：

三.计算题
1．求解线性方程组的一般解

解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形

一般解为
(是自由未知量)
2．求当取何值时，线性方程组

有解，在有解的情况下求方程组的一般解．
解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

因此，当初，方程组有解，且有无穷多解，

答案：其中是自由未知量．
3．求当取何值时，线性方程组

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

　　当初，方程组有解，且方程组的一般解为

其中为自由未知量．