2024年机考题库微积分.doc

多元函数微分学机考题
阐明：
1． 考试时间为60分钟，满分为100分。
2． 每份试卷共有15题，其中轻易题6道，中等题6道，难题3道。
3． 每份试卷中，1—10题每题7分，11—15题每题6分。
4． 试题范围：多元函数微分学。

一、轻易题
1． 二元函数在点处
(A) 连续，偏导数存在。(B) 连续，偏导数不存在。(C) 不连续，偏导数存在。(D) 不连续，偏导数不存在。
答：C
2． 设函数由方程组确定，则当初，
(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D)
答：B
3． 设是二元函数定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是
(A) 若在点连续，则在点的偏导数都存在。
(B) 若在点的两个偏导数都存在，则在点连续。
(C) 若在点的两个偏导数都存在，则在点可微。
(D) 若在点可微，则在点连续。
答：D
4． 函数在点处的梯度是
(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。
答：A
5．在连续对于函数在点可微是[ ]
（A）充足条件。 (B)必要条件。 (C)充足必要条件。 (D)无关条件。
答：A

6．下列结论中错误的是
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 不存在。
答：B
7．设函数，又，则下列结论中正确的是
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：D
8．若二元函数在点处的两个偏导数，存在，则[ ]
（）在点可微。 （）在点连续。
（）在点沿任何方向的方向导数存在。
（）一元函数在连续。
答：D
9．已知，则[ ]
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：C
10．若在点不可微, 则一定有[ ]
（A）在点不连续。
（B）在点沿某些方向的方向导数不存在。
（C）在点的两个偏导数最少有一个不连续。
（D）在点两个偏导数存在且连续。
答：C
11．曲面在点的切平面[ ]
() 包括轴。 () 平行于轴。
() 垂直于轴。 () ，，都不对。
答：B
12．设函数有连续的偏导数,在点的两个偏导数分别为,，则在点增加最快的方向是[ ]
。 。 。 。
答： D
13．函数的定义域是[ ]
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D)。
答：A
14．已知函数由方程确定，其中函数具备一阶连续偏导数，且，则[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答：D
15．二元函数 [ ]
A. 没有驻点。 B. 至多有一个极值点。
C 最少有两个极值点。 D 最少有三个极值点。
答：B
16．椭球面 在点的切平面方程是[ ]
A 。 B 。
C 。 D 。
答：C
17．已知，则[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：B
18．设，可导，则[ ]
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：D
19．已知，则[ ]
(A)。
(B) 。
(C) 。
(D) 。
答：A
20．函数在时[ ]
(A) 极限存在且等于零。 (B) 极限存在但不等于零。
(C) 极限不存在不过无穷大量。 (D) 极限不存在也不是无穷大量。
答：D
二、中等题
1．设有直线及平面，则直线
(A) 平行于。 (B) 在上。
(C) 垂直于。 (D) 与斜交。
答：C
2．直线 与 之间的关系是
(A) 重叠。 (B) 平行。 (C) 相交。 (D) 异面。
答：B
3．曲面的与平面平行的切平面方程是
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D)
答：D
4．设函数在点处的偏导数，，则下列命题中成立的是[ ]
（A）函数在点可微且。
（B）函数在点的某邻域内必有定义。
（C）空间曲线 在点处的一个切向量为 。
（D）极限必存在。
答：C
5．设 则 [ ]
(A)在 (0,0) 可微且。 (B)在 (0,0) 的两个偏导数存在但不可微。
(C)在 (0,0) 可微，但。 (D) A,B,C都不对。
答：A
6．设,则在点[ ]
（A）连续,但偏导数不存在。 （B）可微。
（C）连续且偏导数存在。 （D）不连续但偏导数存在。
答：C
7．已知具备二阶连续偏导数，，记，则下列结论中正确的是
(A) 。 (B) 。
(C)。 (D) 。
答：D
8．下列命题中正确的是
(A) 若二元函数连续，则作为任一变量或的一元函数必连续。
(B) 若二元函数作为任一变量或的一元函数都连续，则必连续。
(C) 若二元函数可微，则其必存在连续的一阶偏导数。
(D) 若二元函数不连续，则其必不可导。
答：A
9．已知有连续的二阶偏导数，, 则[ ]
。 。 。 。
答：C
10．二元函数在点处[ ]
(A) 连续且偏导数存在。 (B) 连续但偏导数不存在。
(C) 不连续但沿任何方向的方向导数都存在。 (D) 不连续且偏导数不存在。
答：C
11． 设是由方程确定的函数. 则在的梯度[ ]
A {-1, -1}。 B {-1, 3}。 C 。 D 。
答：A
12．已知，，则[ ]
(A)。 (B) 。
(C ) (D) 。
答：D
13．已知函数在点处可微，且，又设，则[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答：D
14．曲线的平行于平面的切线方程是[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：A
15．设由方程确定，则在点的两个偏导数[ ]
A. 分别等于。 B. 分别等于 。
C. 都等于。 D. 都等于。
答：D
16．椭球面:的与平面 平行的切平面是[ ]
(A) 。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：C
17．设函数在点附近有定义，且，则[ ]
(A) 。
(B) 曲面在点的法向量为。
(C) 曲线在点的切向量为。
(D) 曲线在点的切向量为。
答：C
18．已知，则等于[ ]
(A)。
(B) 。
(C) 。
(D) 。
答：C
19．设 ，则在处[ ]
(A)偏导数不存在。 (B)不可微。
(C)偏导数存在且连续。 (D)可微。

答：D
20．已知曲面上点处的切平面平行于平面，则点的坐标是[ ]
(A)。 (B) 。 (C) 。 (D)
答：A
21．函数的极大值点是[ ]
(A)。 (B)。 (C)。 (D)。
答：A
22．考虑二元函数的下面四条性质：
（1）在点处连续，
（2）在点处的两个偏导数连续，
（3）在点处可微，
（4）在点处的两个偏导数存在。
若用“ ”表示可由性质推出性质，则有[ ]
(A)。 (B) 。
(C) 。 (D) 。
答：A

三、难题
1．下列命题中错误的是
(A) 若在上可导，且存在唯一的极值点，若是极小值则必是在上的最小值。
(B) 若在有界闭域的内部存在唯一的极值点，若是极小值，则必是在上的最小值。
(C) 若在有界闭域的内部取到最小值，且是在内的唯一极值点，则必是在上的最小值。
(D) 连续函数在有界闭域上的最大、最小值能够都在的边界上取到。
答：B
2．下列命题中正确的是
(A) 设为曲面外一点，为曲面上的点，若，则是在处的法向量。
(B) 设为光滑曲面外一点，为曲面上的点，若，则是在处的法向量。
(C) 设为光滑曲面外一点，为曲面上的点，若是在处的法向量，则。
(D) 设为光滑曲面外一点，为曲面上的点，若是在处的法向量，则。
答：B
3．设是一二元函数，是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是
(A) 若在点的两个偏导数都存在，则在点的梯度是。
(B) 若在点的两个偏导数都存在，则在点沿方向方向导数是。
(C) 若在点的两个偏导数都存在，则在点的微分是。
(D) 若在点可微，则在点的微分是。
答：D
4．已知函数在点的某个邻域内连续，且，则[ ]
(A) 点不是的极值点。
(B) 点是的极大值点。
(C) 点是的极小值点。
(D) 依照所给条件无法判断点是否为的极值点。
答：A
5．设是一有界闭域, 函数在上连续，在内偏导数存在，且满足等式，
若在的边界上恒为零，则在上[ ]
(A) 存在非零的最大值。
(B) 存在非零的最小值。
(C) 只在边界上取到最大值和最小值。
(D) 能在边界上取到最大值和最小值。
答：D
6．已知 ，是任意单位向量，则[ ]
(A)。 (B)。
(C)。 (D)。
答：D
7．已知，则下列结论中错误的是[ ]
(A)。 (B) 。
(C)。 (D)。
答：D
8．设二元函数是有界函数, 则 [ ]
（A）函数 一定在点 (0,0)可微。
（B）函数 一定在点 (0,0)可微。
（C）函数 一定在点 (0,0)可微。
（D）函数, , 都在点 (0,0)不可微。
答：C
9．设是条件极值问题

的解, 且。又设分别是曲面 和曲面在点的切平面, 则[ ]
相互垂直。 。
。 。
答：B
10．下列哪一个条件成立时能够推出在点可微,且全微分？[ ]
A 在点的两个偏导数。
B 在点的全增量。
C 在点的全增量。
D 在点的全增量。
答：D