2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题46相似及位似.doc

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）
专题46：相似和位似
一、选择题
1. （2012海南省3分）如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是【 】

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；由，加上∠A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB与△ABC相似。故选C。
2. （2012陕西省3分）如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则【 】

A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵△ABC中，AD、BE是两条中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB。
∴△EDC∽△ABC。∴。故选D。
3. （2012浙江湖州3分）△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长为【 】
A．60cm B．45cm C．30cm D．cm
【答案】C。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的性质。
【分析】∵三角形的中位线平行且等于底边的一半，
∴△ABC三条中位线围成的三角形与△ABC相似，且相似比是。
∵△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，
∴△ABC的周长为30cm。故选C。
4. （2012湖北咸宁3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，
点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为【 】．

A．(，0) B．(，) C．(，) D．(2，2)
【答案】C。
【考点】坐标与图形性质，位似变换，正方形的性质。
【分析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：。
∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=。
∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=。∴E点的坐标为：（， ）。故选C。
5. （2012湖北荆州3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据勾股定理，AB=，BC=，AC=，
∴△ABC的三边之比为。
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选B。
6. （2012贵州毕节3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是【 】

A.（2，4） B.( ,) C.(,) D.( ,)
【答案】C。
【考点】位似变换，坐标与图形性质。
【分析】根据以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应应乘以－2，即可得出点A′的坐标：
∵点A的坐标是（1，2），∴点A′的坐标是（－2，－4），故选C。
7. （2012贵州安顺3分）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是【 】
　 A． 1.25m B． 10m C． 20m D． 8m
【答案】C。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】设该旗杆的高度为xm，
根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20m）。
∴该旗杆的高度是20m。故选C。
8. （2012贵州黔南4分）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为【 】

A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
【答案】A。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则，即，解得，x=8。故选A。
9. （2012贵州遵义3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=【 】

A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】A。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵，∴。
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。∴。∴9S△AEF=S△ABC。
又∵S四边形BCFE=8，∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=9。故选A。
10. （2012山东东营3分） 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面
积的，那么点B′的坐标是【 】

A．（－2，3） B．（2，－3） C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
【答案】D。
【考点】位似，相似多边形的性质，坐标与图形性质。
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换。因此，
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC。
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：。
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。故选D。
11. （2012山东德州3分）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有【 】

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C。
【考点】解直角三角形的应用，相似三角形的应用。
【分析】此题比较综合，要多方面考虑：
①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组求出AB；
③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例，求出AB；
④无法求出A，B间距离。
因此共有3组可以求出A，B间距离。故选C。
12. （2012山东聊城3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是【 】
13. （2012广西钦州3分）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是【 】

A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D。
【考点】网格问题，位似变换。
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上：∵点P在对应点M和点N所在直线上，∴点P是它们的位似中心。故选D。　
14. （2012广西玉林、防城港3分）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是【 】

A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】位似变换，坐标与图形性质，正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】∵在正方形ABCD中，AC=，∴BC=AB=3。
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为（1，2），∴OE=1，EC=A′E=3－1=2。
∴根据正方形的对称性，正方形A′B′C′D′的边长为1。
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是。故选B。
15. （2012广西柳州3分）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中对
应线段是【 】

A．FG 　　　　　　B．FH 　　　　　　C．EH 　　　　　　D．EF
【答案】D。
【考点】相似图形。
【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答：
由图可知，点A、E是对应顶点，点B、F是对应顶点，点D、H是对应顶点，所以，甲图中的
线段AB在乙图中的对应线段是EF。故选D。
16. （2012黑龙江大庆3分）如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则 △EFD与△ABC的面积比为【 】

A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，
∵，∴。
又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC。。∴h′=3h。∴△DEF的高=2h。
设△AEF的面积是s，EF=a，∴S△ABC=9s，
又∵S△DEF= •EF•2h=ah=2s，∴。故选B。
17. （2012黑龙江牡丹江3分）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有【 】．

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】B。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，相似三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE∽△ABC，△BGE∽△BAF，△AEF∽△CEB，△ACB∽△CAD，△AGE∽△CDA5对。故选B。
二、填空题
1. （2012北京市4分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的
位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，
EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ▲ ．

【答案】5.5。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB：
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB。∴。
∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm0.2m，AC=1.5m，CD=8m，∴。 ∴BC=4（m）。
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5（m）。
2. （2012上海市4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为 ▲ ．

【答案】AB=3。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB。∴。
∵△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，∴△ABC的面积为9。
又∵AE=2，∴，解得：AB=3。
3. （2012重庆市4分）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 ▲ ．
【答案】9：1。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴三角形的相似比是3：1。
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1。
4. （2012湖北随州4分）如图,点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5,BC=8；则AB的长为 ▲ .

【答案】10。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】根据已知条件可知△ABC∽△AED，通过两三角形的相似比可求出AB的长：
在△ABC和△AED中，∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，∴△AED∽△ABC。
∴AB AE =BC ED 。
又∵DE=4，AE=5，BC=8，∴AB=10。
5. （2012湖南张家界3分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ▲ ．
【答案】2：5。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
∵，∴△ABC与△DEF的相似比为2：5。
6. （2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．

【答案】15。
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。
【分析】如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，
∴设BE=DE=x，则AD=AF=4x。
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，∴，即，解得。
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。
又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，解得。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得。
∴。
又∵△ADF∽△ABC，∴，∴

∴。
7. （2012湖南娄底4分）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=
　 ▲ 　米．

【答案】3.42。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，∴AO∥NM。∴△ABO∽△NAM。∴。
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，∴BM=OB+OM=4+5=9（米）。
∴，解得：NM=3.42。
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米。
8. （2012辽宁阜新3分） 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ▲ ．

【答案】12。
【考点】位似变换的性质。12。
【分析】∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1。
∵位似比是1：2，∴相似比是1：2。∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4。
∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12。
9. （2012辽宁沈阳4分）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ▲ _.
【答案】8。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】根据相似三角形的周长等于相似比的性质，得△ABC的周长∶△A′B′C′的周长=3∶4，
由△ABC的周长为6，得△A′B′C′的周长为8。
10. （2012山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）。若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ▲ .

【答案】（3，4）或（0，4）。
【考点】网格问题，位似。
【分析】如图，作出位似中心，即可得出△A1B1C1的第三个顶点的坐标（3，4）或（0，4

11. （2012山东滨州4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： ▲ （用相似符号连接）．

【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】（1）在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF；
（2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE。
12. （2012新疆区5分）如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=　 ▲ 　．

【答案】。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE。∴。
∵AC=3，BC=4，AE=2，∴，解得。
∴。
13. （2012吉林长春3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为 ▲ .

【答案】3.2。
【考点】三角形的相似的判定和性质，解一元一次方程。
【分析】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD。∴。
又∵AB=5，AC=4，∴，解得AD=3.2。
14. （2012青海省2分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 ▲ m．

【答案】12。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD。∴。
∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16。∴，解得CD=12。
15. （2012黑龙江牡丹江3分）在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若△ABC的面积是l6，则△DEF的面积为 ▲ ．
【答案】4。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】如图，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DE=AC，DF=BC，EF=BA（三角形中位线定理）。
∴。∴△DEF∽△ABC（相似三角形的判定）。
∴（相似三角形的性质）。
又∵，∴。
三、解答题
1. （2012安徽省12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF;
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

【答案】解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DEAB，DFAC。
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，
∴BG=AC+AG。
∵BG=AB－AG，∴BG=。
（2）证明：BG=，FG=BG－BF=，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。
又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。
∴DG平分∠EDF。
（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。
∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。
∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。
∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。
∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。
【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。
【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=。
（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG。
（3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C。
2. （2012江苏徐州8分）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m。
（1）△FDM∽△ ▲ ，△F1D1N∽△ ▲ ；
（2）求电线杆AB的高度。

【答案】解：（1）FBG，F1BG。
（2）根据题意，∵D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG。∴。
∵DC∥BA，∴△FDNN∽△FBG。∴。
∵D1N=DM，∴，即。∴GM=16。
∵，∴。∴BG-13.5。
∴AB=BG＋GA=15（m）。
答：电线杆AB的高度为了15m。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】由D1C1∥BA和DC∥BA可得△F1D1N∽△F1BG和△FDNN∽△FBG，根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解。
3. （2012福建厦门7分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3， BC＝9.
（1）求 的值；
（2）若BD＝10，求sin∠A的值.

4. （2012辽宁锦州8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A＇B＇C＇是以
点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△Ａ′Ｂ＇Ｃ＇的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A＇Ｂ＇Ｃ＇关于点 O中心对称的△Ａ″Ｂ″Ｃ″，并直接写出△Ａ″Ｂ″Ｃ″各顶点的坐标.

【答案】解：（1）图中点O为所求：

（2）△ABC与△A＇B＇C＇的位似比等于2:1 。
（3）△A＇＇B＇＇C＇＇为所求，A＇＇（6，0）； B＇＇（3，-2）； C＇＇（4，-4）。

【考点】作图（位似和中心对称变换），平面直角坐标系和点的坐标。
【分析】（1）对应点连线的交点即为位似中心点。
（2）根据网格中的距离即可写出△ABC与△Ａ′Ｂ＇Ｃ＇的位似比。
（3）作出△A＇Ｂ＇Ｃ＇关于点 O中心对称的△Ａ″Ｂ″Ｃ″，根据平面直角坐标系中的位置写出△Ａ″Ｂ″Ｃ″各顶点的坐标。
5. （2012山东菏泽6分）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．

【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。
6. （2012山东菏泽10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．

【答案】解：（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；
显然有AB2+AC2=BC2，
∴根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形。
（2）△ABC和△DEF相似。理由如下：
根据勾股定理，得AB=2，AC=BC=5，DE=4，DF=2，EF=2。
∴。∴△ABC∽△DEF。
（3）如图：

【考点】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似变换作图。
【分析】（1）利用网格借助勾股定理得出AB=2，AC= ，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。
（2）求出AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可。
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可：
连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，DE=4，
∴。
∴△ABC∽△P2P4 P5。
7. （2012河北省9分）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 ；AE和ED的位置关系为 ；
（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．

【答案】解：（1）AE=ED；AE⊥ED。
（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF与△EAB的相似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB。
∴∠GFE=∠C。∴EH=HC=EC。∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD。
∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC。
∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠GHF+∠DHC=90°。∴∠GHD=90°。∴GH⊥HD。
（3）k．
【考点】位似变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED：
∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，∴△ABE≌△DCE（SAS）。
∴AE=DE，∠AEB=∠DEC=45°。∴∠AED=90°。∴AE⊥ED。
（2）①根据△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，从而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD。
②根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，从而得出CH的长：
根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，∴∠FHG+∠DHC=90°。
∵∠FHG+∠FGH=90°，∴∠FGH=∠DHC。
∵DH=GH，∠FGH=∠DHC，∠DCH=∠GFH，∴△GFH≌△HCD（AAS）。∴CH=FG。
∵EF=FG，∴EF=CH。
∵△EGF与△EAB的相似比是k：1，BC=2，∴BE=EC=1。∴EF=k。∴CH的长为k。
8. （2012江西南昌8分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）

【答案】（1）证明：∵AB．CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）。
同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD）。
∴∠OAC=∠OBD。∴AC∥BD。
（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于点M，则EM=16cm
∴cos∠OEF=≈0.471。
用科学记算器求得∠OEF=61.9°。
（3）小红的连衣裙会拖落到地面。理由如下：
在Rt△OEM中， （cm）。
过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH
∴（cm）。
∴小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH（120cm）。
【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），从而利用平行线的判定得出即可。
（2）首先作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，求得cos∠OEF，即可得出∠OEF的度数。
（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可。

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