2010年寒假高三数学练习题(一).doc

2010年寒假高三数学练习题（一）
一、选择题：
1．满足条件的所有集合A的个数是 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．16
2．已知复数和都是纯虚数，则= （ ）
A．i B．2i C．－i D．2i
3．命题甲：p是q的充分条件；命题乙：p是q的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知表示平面，l、k表示直线，并且有．给出三个结论：①；②；③．其中正确的结论的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在平面直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15
6．已知某质点的位移与移动时间满足，则质点在的瞬时速度是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
7．右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，
则该几何体的表面积为（不考虑接触点）
A．6++ B．18+2+
C．18++4 D．32+
8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是
A．2 B．3 C． D．
9．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P
满足，，则实数
的值为 （ ）
A． B．2 C．－2 D．
O
10．若二次函数的部分图像如右
图所示，则函数的零点所在
的区间是 （ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线的焦点F作直线与此抛物线相交于A、B两点，O是坐标原点，当时，直线AB的斜率的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
12．半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 （ ）
A． B． C． D．

二、填空题：
13．在 = ．
14．等差数列｛｝的公差不为零，首项＝，是和的等比中项，则数列的前项之和是
15．已知、是双曲线的两个焦点，M为双曲线上的点，若，，则双曲线的离心率为 ；
16．已知函数，正实数、、成公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：
①；②；③；④，其中有可能成立的判断的序号是 （请把你认为正确的都填上）．
三、解答题：
17．已知向量，，．
（1）当时，求角x的取值集合；
（2）求函数的单调区间，并求出使得取得最大值的对应向量．

18．如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面,∠＝60°,是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正切值．

18．（文科）如图所示,矩形中，平面，为上的点，且平面交与点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．

19．设、是函数的两个极值点．
（1）若，求函数的解析式；
（2）若，求的最大值．
（3）若，且，，求证：．

20．已知分别是椭圆的左、右焦点，B是其上顶点，点N的坐标是，满足．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若M是坐标平面内一动点，G是三角形MF1F2的重心，且，其中O是坐标原点，求动点M的轨迹C的方程；
（3）点P是此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（2）中所求得轨迹C的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求的最小值．

2010年寒假高三数学练习题（一）参考答案
一、选择题：CDBBC CBACC DA
二、填空题：13． 14． 15． 16．①②③
三、解答题
17．解：（1） ……………………………1分
∵，∴，即， ……3分
从而,
因此角x的取值集合为 ……………………………5分
（2）
令；
令
从而函数的单调增区间是，
单调减区间是． …………………………10分
由以上可知当，
与之相对应的向量
．…………12分
（注意：因为把向量和的起点放在原点，的终点在单位圆上运动，
所以向量和向量同向时，数量积取得最大值，
这样也可求出对于的向量）
18．解：（1）证明：因为是菱形，∠＝60°，所以△是正三角形．
又是的中点，所以，进而有．
因为平面平面，是交线，所以．
又因为，所以．………………………………6分
（2）方法1：过作于点，连结，则
因为，即，
所以，是二面角的平面角……9分
△中，＝60°
Rt△中，＝60°
所以
即二面角的正切值是2．……12分
方法2：如图所示，以点B为坐标原点，
BA和BM所在直线为x轴和z轴建立空间直角坐标系
则根据条件可得

从而………………………4分
设是平面的法向量，则
即
令，则，从而 …………………8分
由z轴垂直于平面，得是平面的法向量 …………9分
设二面角的平面角为，根据条件可知为锐角，所以

因此二面角的正切值是2． ………………………………12分
18．（文科）（1）略;（2）略;（3）．
19．解：（1） ………………………………1分
∵是函数的两个极值点，
∴，．…………………………………………………………2分
∴，，解得．
∴．…………………………………………………………3分
（2）∵是函数的两个极值点，∴．
∴是方程的两根．
∵，∴对一切恒成立．，，
∵，∴．
∴．……………………5分
由得，∴．
∵，∴，∴． ……………………………………6分
令，则．
当时，，∴在（0，4）内是增函数；
当时，，∴在（4，6）内是减函数．
∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，
∴的最大值是． ………………………………………………………………8分
（3）证法一：∵是方程的两根，
∴， ……………………………………………………9分
∴ ………………10分
∵，∴，，
∴．………………………11分
∵，，∴．
∴． ……………………………………12分
证法二：∵是方程的两根，
∴， ……………………………………………………9分
∵，，∴．
∴……………10分
∵，
∴ ………………………………………………11分

．……………………………………………………12分
20．解：（1）因为.
所以，.
从而N，B.所以，.
因此椭圆的方程为； ……………………………………………3分
（注意：此问也可以直接利用a，b，c表示出来B，F1，F2，N四个点的坐标，
再代入题设所给的向量关系式中，进而求出a，b得方程）.
（2）设M（x，y），则由（1）得F1(－2，0)，F2（2，0），所以G（），
从而.
∵，∴ ， 即
由于G是三角形MF1F2的重心，即M，F1，F2应当是一个三角形的三个顶点，
因此所求的轨迹C方程为 ()； ……………………………6分
（3）由（2）知轨迹C的方程为 ()，即 ().
显然轨迹C是以点C（3，0）为圆心，
半径r＝3的圆除去两点（0，0）和（6，0）剩余部分的部分曲线.
设P（m，n），则根据平面几何知识得
进而
………………………………………………………8分
根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

当且仅当时，取“＝”. （※）…………………………10分
由条件知点P（m，n）在椭圆上(非短轴端点)，并且在圆外，
所以但即.
由于，所以条件（※）的要求满足.
因此的最小值为.………………………………………………12分
6