浙江省镇海中学2012届高三下学期模拟测试卷数学(理).doc

浙江省镇海中学2012届高三下学期模拟测试卷数学（理）

开始
p＝1，n＝1
n＝n＋1
p>2012?
输出n
结束
(第3题)
是
否
p=p+2n-1

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设P＝{y | y＝，x∈R}，Q＝{y | y＝，x∈R}，则
(A) PQ (B) QP
(C) ∁RP (D) ∁RQ
(2) 已知i是虚数单位，设复数，，则在复平面
内对应的点在
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
(3) 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是
(A) 43 (B) 44 (C) 45 (D) 46
(4) 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(5) 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是
(A) 若 (B) 若
(C) 若 (D) 若
(6) 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少
有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为
(A) (B) (C) (D)
(7) 若(1-3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|等于
(A) 1024 (B) 243 (C) 32 (D) 24
(8) △ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则
的值是
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
(9) 已知实数x、y满足，若不等式恒成立，则实数a的最小值是
(A) (B) (C) (D) 2
(10) 设R表示一个正方形区域，n是一个不小于4的整数．点X位于R的内部（不包括边界），如果从点X可引出n条射线将R划分为n个面积相等的三角形，则称点X是一个“n维分点”．由区域R内部的“100维分点”构成集合A，“60维分点”构成集合B，则集合{x | xÎA且xÏB}中的元素个数是
(A) 1560 (B) 2320 (C) 2480 (D) 2500

非选择题部分 (共100分)
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
正视图
俯视图
侧视图
6
6
4
(第12题)
3
3
(11) 函数的
最小正周期是 ．
(12) 若一个三棱锥的三视图 (单位：cm) 如图所示，则该棱锥的全面积是 _________cm2．
(13) 设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为________．
(14) 盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用. 从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，则X的数学期望E (X)= ________．
(15) 设Sn是正项数列{an}的前n项和，且和满足：，则Sn＝ ．
A
B
C
D
M
N
(第17题)
(16) 若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－2)2＋y2＝1上，点O为坐标原点，则的最大值是 ．
(17) 正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在线段AB，AD上．若3|MN| 2＋|CM| 2＋|CN| 2＝，则|AM|＋|AN|的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(18) (本题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，b=4，cos(A－B)=．
(Ⅰ) 求sin B的值；
(Ⅱ) 求cos C的值．

(19) (本题满分14分) 已知等差数列{an}的首项a1为a．设数列的前n项和为Sn ，且对任意正整数n都有．
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式及Sn ；
E
A
B
C
M
N
P
（第20题）
(Ⅱ) 是否存在正整数n和k，使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．

(20) (本题满分15分) 如图，平面PAC⊥平面ABC,
AC⊥BC,△PAC为等边三角形，PE∥,M，
N分别是线段，上的动点，且满足：
．
(Ⅰ) 求证：∥平面；
(Ⅱ) 求l 的值，使得平面ABC与平面MNC
所成的锐二面角的大小为45°.

x
y
O
F
A
B
C
D
M
(第21题)
(21) (本题满分15分) 已知椭圆G：
(a>b>0)的离心率为，右焦点F(1,0)．过
点F作斜率为k（k¹0）的直线l，交椭圆G
于A、B两点，M（2,0）是一个定点．如图
所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D
两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为．
(Ⅰ)求椭圆G的方程；
(Ⅱ)在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若
存在，求出这个常数；若不存在请说明理由．

(22) (本题满分14分) 设和是函数的两个极值点，其中， ．
(Ⅰ) 求的取值范围；
(Ⅱ) 若，求的最大值．
注：e是自然对数的底数．

理科数学测试卷参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
解法一：
(Ⅰ) 解：在△ABC中，因为，所以．又，可知 为锐角且．由正弦定理，．于是

将及的值代入可得，故．
…………6分
(Ⅱ) 解：由及，知．所以

于是，所以

故． …………14分
在△ABC中运用余弦定理得，，即知．
由正弦定理，，得，即知．
…………14分

(19) 本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查推理论证能力。满分14分。
(Ⅰ) 解：设等差数列{an}的公差为d，在中令可得，即
．故，．经检验，恒成立．
所以，，． …………6分
(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知，，．假若Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列，则，即知．又因为，所以，经整理得．考虑到均为正整数，所以，．
所以，存在正整数和符合题目的要求． …………14分

(20) 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
E
A
B
C
M
N
P
（第20题）
x
y
z
方法一：
(Ⅰ) 证明：如图以点C为原点建立
空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA
＝1，CB＝t（t >0），，则
， ，，
，．
由，得
，
，．
=(0，0，1) 是平面的一个法向量，且，故．
又因为MN平面ABC，即知MN∥平面ABC． …………6分
(Ⅱ) 解：，设平面CMN的法向量，则， ，可取，又=(0，0，1) 是平面的一个法向量．由，以及可得
，即．解得（将舍去），故． …………15分
E
A
B
C
M
N
P
（第20题）
方法二：
(Ⅰ) 证明：由，得MN∥PE，
又依题意PE∥BC，所以MN∥BC．
因为平面，平面，
所以//平面． …………6分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N
共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角
即N—CB—A．因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC ∩ 平面ABC = AC，且CB⊥AC，所
以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知为二面角N—CB—A的平面角．所以．在△NCA中运用正弦定理得，．
所以，． …………15分
(21) 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)解：设，依题意，．解得，．故椭圆G的方程为． …………5分
(Ⅱ)存在常数．
解法一：设．联立，可得

于是 ．
直线AM的斜率，联立，可得

则，进一步可得．将代入，则

同理可得．进一步，可计算．其中

同理可得．由两式相减可得，

综上可知，存在常数． …………15分

解法二：设．联立，可得

于是 ．
A、B关于x轴的对称点分别为，则直线、的斜率分别是．注意到：

所以三点共线．同理，三点共线．因此，点C即，点D即，直线CD即直线．故
．
所以，存在常数． …………15分

(22) 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力、抽象概括等综合解题能力和创新意识。满分14分。
(Ⅰ)解：函数的定义域为，．
依题意，方程有两个不等的正根，（其中）．故
，
并且 ．
所以，

故的取值范围是． …………6分
(Ⅱ)解:当时，．若设，则
．
于是有

构造函数（其中），则．
所以在上单调递减，．
故的最大值是． …………14分

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