恒成立问题6.doc

第五天（恒成立问题）
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：
类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。
类型2：设
（1当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
类型3：
。
类型4：
恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质
对于一次函数有：

例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。
。
二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数有：
（1）上恒成立；
（2）上恒成立
例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
三、利用函数的最值（或值域）
（1）对任意x都成立；
（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。
解析：由
，，恒成立，，即恒成立，
例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：由于函，显然函数有最大值，。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：
（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例5：已知，求实数a的取值范围。
对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。
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恒成立问题
数学试卷
“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，含参不等式恒成立问题常运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论。
1． 设，
（1） 当时，恒成立，求的取值范围；
（2） 当时，恒成立，求的取值范围。

2． 已知函数对任意实数都有
，
（1）若为自然数，试求的表达式；
（2）若为自然数,且时，恒成立，求的最大值。

3． 函数
若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
4． 对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是_______。

5． 设上有意义，求实数a的取值范围.。

6． 当恒成立，则实数a的范围是____。

7． 已知不等式： 对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。

答案
1．分析：
（1）当时，恒成立，即当时，恒成立
即当时，恒成立
实数需且只需，所以
（2）方法一：当时，恒成立，
即当时，恒成立
而在上的最小值是

由知或得
方法二：当时，恒成立，
即当时，恒成立
即当时，恒成立的充要条件是
① ②
综合起来，得
方法三：当时，恒成立，
即当时，恒成立
即当时，恒成立，
分三种情况讨论
评注：本例适宜用二次函数的最值来处理，不宜用参变量分离。
2．解（1），
（2）由题意，当，时恒成立
当，时恒成立
当，时恒成立
记，，
函数，的图象表示在上的一条射线，
所以要使问题恒成立，只要 ,
评注：本例不适宜用三次函数的最值来处理，宜用参变量分离。
3．分析：若对任意，恒成立，
即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
方法一：考虑抛物线在的最小值得
方法二：考虑参数分离只需在时恒成立, 考虑定抛物线在的最大值，得
评注：本例只要适当挖掘隐含条件，无论是用二次函数的最值来处理，还是用参变量分离来处理均可。
4． 5. 6. 7.

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