浙江省余姚中学2010届高三第二次质量检测试卷(数学理).doc

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2009学年
第一学期
余姚中学 高三数学（理）第二次质量检测卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分
钟．（本次考试不能使用计算器）

第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、集合,集合，则 ( ▲ ).
A. B. C. D.
2、为得到函数的图像，只需将函数的图像( ▲ ).
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
3、已知正方体--中，M为AB中点，棱长为2，P是底面ABCD上的动点，且满足条件，则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是( ▲ ).
A.圆　　　　　　B.椭圆　　　　　　　C.双曲线　　　　　　　D.抛物线
4、如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分I、II、III、Ⅳ（不包含边界）。设，且点P落在第III部分，则实数m，n满足( ▲ ).
A． B．
C． D．
5．等差数列中，，若数列的前项和为，则的值为( ▲ ).
A．14 B.15 C.16 D.18
6．方程满足且0<,则实数的取值范围是( ▲ ).
A. B. C. D.
7．已知，则的值( ▲ ).
A、随的增大而增大 B、有时随的增大而增大，有时随的增大而减小
C、随的增大而减小 D、 是一个与无关的常数
8、已知 , (>0 , ) ， A、B为图象上两点，B是图象

的最高点，C为B在x轴上射影，且点C的坐标为
则·( ▲ ).
A. B.
C.4 D.
9.若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是( ▲ ).
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，，则( ▲ ).
A、 B、
C、 D、

第II卷（共100分）
[二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11.函数的定义域是 ▲ .
12.已知曲线方程，若对任意实数，直线都不是曲线的切线，则的取值范围是 ▲ .
13．若，则＝ ▲ .
14．已知, ▲ .
15．已知为直角坐标系原点，的坐标均满足不等式组，的最小值等于 ▲ .

16. 定义：称为个正数的“平均倒数”。若正项数列的前项的“平均倒数”为，则数列的通项公式为 ▲ .
17．如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有 ▲ .
（只需填上正确命题的序号）。
①动点在平面上的射影是线段
②三棱锥的体积有最大值；
③恒有平面平面；
④异面直线与不可能互相垂直；
⑤异面直线与所成角的取值范围是.

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.(本小题满分14分) 已知函数的图象关于直线对称，且
（1）求的值； （2）求的值。

19. (本小题满分14分) 将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D—BF—E的大小；
（3）若F、A、B、C、D这五个点在同一球面上，求该球的表面积.

20. (本小题满分14分)已知点P在曲线上，设曲线C在点P处的切线为，若与函数的图像交于点A, 与X轴相交于B点，设点P的横坐标为，设A,B的横坐标分别为，记
（1）求函数的解析式
（2）设数列，设数列，满足，求的通项公式
（3）（附加题5分，实验班选做）在（2）的条件下，当时，证明不等式.

21. (本小题满分15分)已知点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足且，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)求△APQ面积的最大值．

22. (本小题满分15分)
已知（）.
（Ⅰ）讨论的单调性。
（Ⅱ）证明：（，，其中无理数）

2009学年
第一学期
余姚中学 高三数学（理）第二次质量检测答题卷
一、 选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
班级　　　　　　　　　　　　　　　姓名　　　　　　　　　　　　　　　　　　学号　　　　　
答案

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在相对应空格．
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
18．（本小题满分14分）

座位号

19．（本小题满分14分）

20．（本小题满分14分）

21．（本小题满分15分）

22．（本小题满分15分）

2009学年
第一学期
余姚中学 高三数学（理）第二次质量检测答案
二、 选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
C
D
C
D
C
C
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在相对应空格．
11. 12.
13. 14. 0
15. 16. 4n-1
17. ①②③⑤
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
18．（本小题满分14分）
(1) ∵， ∴ ……………3分
又∵……5分
∴=7 …………………………7分
(2) 由题意关于直线 对称
∴…………………………………………9分
∴=……………14分

19．（本小题满分14分）

解：∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD为正方形，DCEF为直角梯形，
∴以DA所在直线为x轴、DC所在直线为y轴、DF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则 …………2分
（1）……2分
∴异面直线AC与EF所成的角为. …………2分
（2） ∴
∴平面BDF的法向量为，…………1分
又设平面BEF的法向量，
则由 取
∴平面BEF的法向量为 …………2分

∴二面角的大小为 …………2分
（3）易知BF的中点H就是球心，HA＝HB＝HC＝HD＝HF＝…………2分
∴ …………1分
20．（本小题满分14分）
解：（1）∵y=，∴y'=－，又点P的坐标为（t，）
∴曲线C在点P点的切线斜率为－
则该切线方程为y－=－（x－t）
令y=0xB=2t
由xA=
∴xA·xB=2t·=
∴f（t）=（t＞1）．
（2）n≥2时，an=，==·+
即bn=－=（－）=bn－1
①当k=3时，bn=－1=0，∴{bn}是以0为首项的常数列an=1．
②当k≠3时，{bn}是以1－为首项，为公比的等比数列
∴bn=（1－）·（）n－1an=
综合①②得
bn=（1－）·（）n－1，an=．
（3）an－=－=
∵1＜k＜3，∴＜0，0＜＜
∴an－＞·=·
a1+a2+…+an－=（a1－）+（a2－）+…+（an－）+8
＞+8＞［1－（）n］+8
＞+8=
∴1＜k＜3，∴＞0
故不等式a1+a2+…+an＞成立．
21．（本小题满分15分）
(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即 2分
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
∴曲线C的方程为． 6分
(2)解法一：设直线PQ方程为 (∈R)
由 得： 8分
显然，方程①的，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有

10分
令，则t≥3， 12分
由于函数在[3，＋∞)上是增函数，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值为3 15分
解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
设直线PQ方程为
由 得： ① 8分
显然，方程①的△＞0，则
∴ 10分
12分

令，则，即S＜3
∴△APQ的最大值为3

22．（本小题满分15分）
【解】（Ⅰ）………1′
当时，
∴在单调递增，在单调递减。………3′
当且的判别式，即时，对恒成立。
∴在上单调递减。………6′
当时，由得：
解得：
由可得：或
∴在上单调递增，
在，上单调递减。
综上所述：若时，在上单调递减。………7′
（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，在上单调递减。
当时
∴，即
∴

∴.………15′
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