人教版高中数学教科书课后习题答案.docx

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人民教育出版社
高中数学必修五
第一章 解三角形
1． 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习 (P4)
1、 (1) a 必 14， b 必 19， B = 105O； (2) a 必 18cm， b 必 15 cm， C = 75O .
2、 (1) A 必 65O， C 必 85O， c 必 22 ；或 A 必 115O， C 必 35O， c 必 13；
(2) B 必 41O， A 必 24O， a 必 24 .
练习 (P8)
1、 (1) A 必 39.6O, B 必 58.2O, c 必 4.2 cm； (2) B 必 55.8O, C 必 81.9O, a 必 10.5 cm .
2、 (1) A 必 43.5O, B 必 100.3O, C 必 36.2O； (2) A 必 24.7O, B 必 44.9O, C 必 110.4O .
习题 1.1 A 组 (P10)
1、 (1) a 必 38cm,b 必 39cm, B 必 80O； (2) a 必 38cm,b 必 56cm, C = 90O
2、 (1) A 必 114O, B 必 43O, a 必 35cm; A 必 20O, B 必 137O, a 必 13cm
(2) B 必 35O, C 必 85O, c 必 17cm；
(3) A 必 97O, B 必 58O, a 必 47cm; A 必 33O, B 必 122O, a 必 26cm；
3、 (1) A 必 49O, B 必 24O, c 必 62cm； (2) A 必 59O, C 必 55O,b 必 62cm；
(3) B 必 36O, C 必 38O, a 必 62cm；
4、 (1) A 必 36O, B 必 40O, C 必 104O； (2) A 必 48O, B 必 93O, C 必 39O；
B
习题 1.1 A 组 (P10)
1、证明：如图 1，设 ABC 的外接圆的半径是 R，
①当 ABC 时直角三角形时， 三C = 90O时，
a
ABC 的外接圆的圆心 O 在 RtABC 的斜边 AB上.
O
在 RtABC 中， = sin A， = sin B
BC AC
AB AB
即 = sin A， = sin B
2R 2R
所以 a = 2Rsin A， b = 2Rsin B 又 c = 2R = 2R .sin90O = 2Rsin C
所以 a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2Rsin C
a b
C
b A
(第 1 题图 1)

②当 ABC 时锐角三角形时，它的外接圆的圆心 O 在三角形内(图2)，
A
作过 O、 B的直径 A B ，连接 A C，
1 1
A 1
则 A BC 直角三角形， 三ACB = 90O， 三BAC = 三BAC .

1 1 1

O
在 RtA BC 中，
1
= sin 三BAC，
BC

A B 1
1
即 a = sin 三BAC = sin A，
B
C
2R 1
所以 a = 2Rsin A，
(第 1 题图 2)
同理： b = 2Rsin B， c = 2Rsin C
③当 ABC 时钝角三角形时，不妨假设 三A 为钝角，
它的外接圆的圆心 O 在 ABC 外(图3)

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作过 O、 B的直径 A B ，连接 A C .
1 1
A
则 A BC 直角三角形，且 ACB 90， BAC 180 BAC
1 1 1
B
C
在 RtA BC 中， BC 2Rsin BAC ，
1 1

O
即 a 2Rsin(180 BAC)
即 a 2Rsin A
A 1
同理： b 2Rsin B， c 2Rsin C
综上，对任意三角形 ABC ，如果它的外接圆半径等于 R，
(第 1 题图 3)
则 a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C
2、因为 a cos A bcos B，
所以 sin Acos A sin Bcos B ，即 sin2 A sin2 B
因为 0 2A,2 B 2 ，

即 A B 或 A B
2 .
所以 2A 2B ，或 2A 2B ，或 2A 2 2B .
所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.
在得到 sin2 A sin2 B后，也可以化为 sin2 A sin2 B 0
所以 cos(A B)sin( A B) 0

A B ，或 A B 0

2
即 A B ，或 A B ，得到问题的结论 .
2
1． 2 应用举例 练习 (P13)
1、在 ABS 中， AB 32.2 0.5 16.1 n mile， ABS 115， 根据正弦定理， ASsinABS ABsin(6520)
得 AS sin(65 20) AB sin ABS 2 16.1 sin115 2
∴ S 到直线 AB的距离是 d AS sin 20 16.1 sin115 2 sin 20 7.06 (cm) .
∴这艘船可以继续沿正北方向航行.
2、顶杆约长 1.89 m.
练习 (P15)
1、在 ABP中， ABP 180 ，
BPA 180 ( ) ABP 180 ( ) (180 )
在 ABP中，根据正弦定理， APsinABP ABsinAPB
AP a

sin(180 ) sin( )
AP
a sin( )
sin( )

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所以，山高为 h = AP sina = a sina sin(Y 一 b )sin(Y一a)
2、在 编ABC 中， AC = 65.3 m， 三BAC = a 一 b = 25。25, 一 17。38, = 7。47,
三ABC = 90。一 a = 90。一 25。25, = 64。35,
根据正弦定理， ACsin三ABC = BCsin三BAC
BC = AC 人 sin 三BACsin三ABC = 65.3人 sin7。47,sin64。35, 必 9.8 m
井架的高约 9.8m.
3、山的高度为 200人 sin38。sin 29。sin9。必 382m
练习 (P16)
1、约 63.77。.
练习 (P18)
1、 (1)约168.52 cm2； (2)约121.75 cm2； (3)约 42539 cm2 .
2、约 4476.40 m2
3、右边 = b cosC + c cos B = b 人 + c 人
= a2 + b2 一 c2 + a2 + c2 一 b2 = 2a2 = a = 左边 【类似可以证明另外两个等式】
2a 2a 2a
习题 1.2 A 组 (P19)
1、在 编ABC 中， BC = 35人 0.5 = 17.5 n mile， 三ABC = 148。一 126。= 22。
三ACB = 78。+ (180。一 148。) = 110。， 三BAC = 180。一 110。一 22。= 48。
根据正弦定理， ACsin三ABC = BCsin三BAC
AC = BC 人 sin 三ABCsin三BAC = 17.5人 sin 22。sin48。必 8.82 n mile
货轮到达 C 点时与灯塔的距离是约 8.82 n mile.
2、 70 n mile.
3、在 编BCD 中， 三BCD = 30。+ 10。= 40。， 三BDC = 180。一三 ADB = 180。一 45。一 10。= 125。
CD = 30人 = 10 n mile
1
3
根据正弦定理， CDsin三CBD = BDsin三BCD
10 BD
=
sin 三(180。一 40。一 125。) sin 40。
BD =
10人sin 40。
sin15。
在 编ABD中， 三ADB = 45。+ 10。= 55。， 三BAD = 180。一 60。一 10。= 110。
三ABD = 180。一 110。一 55。= 15。
根据正弦定理， ADsin三ABD = BDsin三BAD = ABsin三ADB，即 ADsin15。= BDsin110。= ABsin55。

60
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10 sin 40
AD = BD sin15 = sin15 sin15 = 10 sin 40 必 6.84 n mile
sin110 sin110 sin 70
AB = BD sin55 = 10 sin 40 sin55 必 21.65 n mile
sin110 sin15 sin70
如果一切正常，此船从 C 开始到 B 所需要的时间为：
20 + 60 +10 必 30 + 60 必
AD + AB 6.84 + 21.65 86.98 min
30 30
即约 1 小时 26 分 59 秒. 所以此船约在 11 时 27 分到达 B 岛.
4、约 5821.71 m
5、在 ABD中， AB = 700 km， 三ACB = 180 21 35 = 124
根据正弦定理， 700 = AC = BC
sin124 sin35 sin 21
700 sin35 700 sin 21
AC = ， BC =

sin124 sin124
700 sin35 700 sin 21
AC + BC = + 必 786.89 km
sin124 sin124
所以路程比原来远了约 86.89 km.
6、飞机离 A处探照灯的距离是 4801.53 m，飞机离 B 处探照灯的距离是 4704.21 m，飞机的 高度是约 4574.23 m.
7、飞机在 150 秒内飞行的距离是 d = 10001000 150 m 3600
根据正弦定理， d = x
sin(81 18.5) sin18.5
这里 x 是飞机看到山顶的俯角为 81 时飞机与山顶的距离.
飞机与山顶的海拔的差是： x tan81 = tan81 必 14721.64 m
d sin18.5
sin(81 18.5)
山顶的海拔是 20250 14721.64 必 5528 m
8、在 ABT 中， 三ATB = 21.4 18.6 = 2.8， 三ABT = 90+ 18.6， AB = 15 m
根据正弦定理， = ，即 AT =
AB AT 15 cos18.6

sin 2.8 cos18.6 sin 2.8
塔的高度为 AT sin 21.4 = 15 cos18.6 sin 21.4 必 106.19 m
sin 2.8
9、 AE = = 97.8 km E
32618 B

在 ACD 中，根据余弦定理： A
AC = AD2 + CD2 2 AD CD cos66
D C
(第 9 题)
= 572 +1102 2 57 110 cos66 = 101.235

AD AC
sin 三ACD sin 三ADC
根据正弦定理， =
sin 三ACD = = 必 0.5144
AC 101.235
AD sin 三ADC 57 sin66

三ACD 必 30.96
三ACB 必 133 30.96 = 102.04

1 1
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在 编ABC 中，根据余弦定理： AB = AC 2 + BC2 一 2 人 AC 人 BC 人cos 三ACB

= 101.2352 + 2042 一 2 人101.235 人 204 人 cos102.04 o 必 245.93
cos三BAC = = 必 0.5847
三BAC = 54.21o
在 编ACE 中，根据余弦定理： CE = AC 2 + AE2 一 2 人 AC 人 AE 人cos 三EAC

= 101.2352 + 97.82 一 2 人101.235 人 97.8 人 0.5487 必 90.75
cos三AEC = 必 必 0.4254
三AEC = 64.82o
180o 一 三AEC 一 (180o 一 75o) = 75o 一 64.82o = 10.18o
所以，飞机应该以南偏西10.18o 的方向飞行，飞行距离约 90.75km .
10、
A

B
C

如图，在 编ABC 中，根据余弦定理： (第 10 题)
AC = BC 2 + AB2 一 2 人 AB 人 BC 人 cos39 o54,

= (6400 + 35800)2 + 64002 一 2 人(6400 + 35800)人 6400人 cos39o54,

= 422002 + 64002 一 2 人 42200 人 6400 人 cos39 o54, = 37515.44 km
三BAC = 必 必 一0.6924
三BAC 必133.82o， 三BAC 一 90o 必 43.82o
所以，仰角为 43.82o
11、 (1) S = acsin B = 人 28人33人sin 45o 必 326.68 cm2 2 2
(2)根据正弦定理： asinA = csinC， c = asinA 人 sin C = 36sin32.8o人sin66.5 o
S = acsin B = 人362 人 人 sin(32.8o + 66.5o) 必 1082.58 cm2
1 1 sin66.5 o
2 2 sin32.8 o

(3)约为 1597.94 cm 2
12、 nR2 sin .
1 2几
2 n
13、根据余弦定理： cos B =
所以 m2 = a )2 + c2 一 2 人 a 人 c 人cos B
a 2 2


B

A

b
c
ma

a
C
(第 13 题)

1 1
1
1
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= (a )2 + c2 一 a c a2 + c2 一 b2 2 2ac
= ( )2 [a2 + 4c2 一 2(a2 + c2 一 b2 )] = ( )2 [2(b2 + c2 ) 一 a2 ] 2 2
所以 m = 1 2(b2 + c2 ) 一 a2 ，同理 m = 1 2(c2 + a2 ) 一 b2 ， m = 1 2(a2 + b2 ) 一 c2
a 2 b 2 c 2
14、根据余弦定理的推论， cos A = ， cos B =
b2 + c2 一 a2 c2 + a2 一 b2

2bc 2ca
所以，左边 = c(a cosB 一 b cos A)
= c(a c2 + a2 一 b2 一 b b2 + c2 一 a2 ) 2ca 2bc
= c(c2 + a2 一 b2 一 b2 + c2 一 a2 ) = 1 2a2 一 2b2 ) = 右边 2c 2c 2
习题 1.2 B 组 (P20)
1 、根据正弦定理： a = b ，所以 b = a sinB
sin A sin B sin A
代入三角形面积公式得 S = 1 absin C = 1 a a sinB sin C = 1 a2 sin B sin C
2 2 sin A 2 sin A

2、 (1)根据余弦定理的推论： cosC = a2 + b2 一 c2 2ab
由同角三角函数之间的关系， sin C = 1 一 cos2 C = 1 一 ( a2 + b2 一 c2 )2
2ab

1
代入 S = absin C ，得
2

1 一 ( a2 + b2 一 c2 )2
2ab
1
S = ab
2

= (2ab)2 一 (a2 + b2 一 c2 )2 4
1
1

= (2ab + a2 + b2 一 c2 )(2ab 一 a2 一 b2 + c2 ) 4
= (a + b + c)(a + b 一 c)(c + a 一 b)(c 一 a + b) 4
1 1 1 1
记 p = (a + b + c)，则可得到 (b + c 一 a) = p 一 a， (c + a 一 b) = p 一 b， (a + b 一 c) = p 一 c
2 2 2 2
代入可证得公式
(2)三角形的面积 S 与三角形内切圆半径 r 之间有关系式 S = 2p r = pr 2

(p 一 a)(p 一 b)(p 一 c)
p
其中 p = 1 (a + b + c)，所以 r = S =
2 p

(3)根据三角形面积公式 S = a h
1

2 a

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所以， h = 2S = 2 p(p 一 a)(p 一 a)(p 一 a) ，即 h = 2 p(p 一 a)(p 一 a)(p 一 a)
a a a a a
同理 h = 2 p(p 一 a)(p 一 a)(p 一 a)， h = 2 p(p 一 a)(p 一 a)(p 一 a)
b b c c
第一章 复习参考题 A 组(P24)
1、 (1) B 如 21。9,, C 如 38。51,, c 如 8.69 cm；
(2) B 如 41。49,, C 如 108。11,, c 如 11.4 cm ；或 B 如 138。11,, C 如 11。49,, c 如 2.46 cm
(3) A 如 11。2,, B 如 38。58,, c 如 28.02 cm； (4) B 如 20。30,, C 如 14。30,, a 如 22.92 cm；
(5) A 如 16。20,, C 如 11。40,,b 如 53.41 cm； (6) A = 28。57,, B = 46。34,, C = 104。29,；
2、解法 1：设海轮在 B 处望见小岛在北偏东 75。，在 C 处望 见小岛在北偏东 60。，从小岛 A向海轮的航线 BD 作垂
线，垂线段 AD 的长度为x n mile， CD 为y n mile.
则 〈y(x) = tan 30。 亭〈|(|tan30(x)。= y 亭 x = x 一 8 (第 2 题)
y 8 = tan15。 ||ltan1( x)5。= y + 8 tan 30。 tan15。
8tan15。tan30。
tan30。一 tan15。
x = = 4
所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.
3、根据余弦定理： AB2 = a2 + b2 一 2ab cosa 所以 AB = a2 + b2 一 2ab cosa
a2 + AB2 一 b2
cos B =
2 人a 人 AB
a2 + a2 + b2 一 2ab cosa 一 b2
=
2 人 a 人 a2 + b2 一 2ab cosa
a 一 b cosa
=
a2 + b2 一 2ab cosa
从 三B 的余弦值可以确定它的大小.

类似地，可以得到下面的值，从而确定 三A 的大小. cos A =

b 一 a cosa
a2 + b2 一 2ab cosa

4、如图， C, D 是两个观测点， C 到 D 的距离是 d ，航船在时刻 t 1
在 A处，以从 A到 B 的航向航行，在此时测出 三ACD 和 三CDA .
在时刻 t ，航船航行到 B 处，此时，测出 三CDB 和三BCD . 根
2
据正弦定理，在 编BCD 中，可以计算出 BC 的长，在 编ACD 中，

A

C


d
(第 4 题)


B

D

可以计算出 AC 的长. 在 编ACB 中， AC、BC 已经算出， 三ACB = 三ACD 一三 BCD，解 编ACD， 求出 AB的长，即航船航行的距离，算出 三CAB ，这样就可以算出航船的航向和速度 .

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5、河流宽度是 hsin(a b)sinasinb . 6、 47.7 m. A B
7、如图， A, B 是已知的两个小岛，航船在时刻t 在 C 处，以从 C
1
到 D的航向航行，测出 三ACD和 三BCD . 在时刻 t ，航船航行 d D
(第 7 题)
2 C
到 D处，根据时间和航船的速度，可以计算出 C 到 D的距离是 d ，在 D处测出 三CDB 和 三CDA . 根据正弦定理，在BCD 中，可以计算出BD 的长，在ACD 中，可以计算出AD 的长. 在 ABD中， AD、 BD 已经算出， 三ADB = 三CDB 三 CDA，根据余弦定理，就可 以求出 AB的长，即两个海岛 A, B 的距离.
第一章 复习参考题 B 组(P25)
B
1、如图， A, B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点 E A
处，测出图中 三AEF， 三AFE 的大小，以及 EF 的距离. 利用正弦
定理，解 AEF ，算出 AE . 在 BEF 中，测出 三BEF 和 三BFE，
利用正弦定理，算出 BE . 在 AEB中，测出 三AEB，利用余弦定
理，算出 AB的长. 本题有其他的测量方法. D
2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式： C
(1)已知一边和这边上的高： S = ah , S = bh , S = ch ；
1 1 1 E
2 a 2 b 2 c (第 1 题) F
(2)已知两边及其夹角： S = 1 absin C, S = 1 bcsin A, S = 1 casinB； 2 2 2
(3)已知三边： S = p(p a)(p b)(p c) ，这里 p = ；

(4)已知两角及两角的共同边： S = , S = , S = ；

(5)已知三边和外接圆半径 R： S = abc 4R .

3、设三角形三边长分别是 n 1, n, n +1，三个角分别是a, 3a,2a . 由正弦定理， n 1sina = ，所以 cosa = .
由余弦定理， (n 1)2 = (n +1)2 + n2 2 (n +1) n cosa .
即 (n 1)2 = (n +1)2 + n2 2 (n +1) n ，化简，得 n2 5n = 0
所以， n = 0 或 n = 5 . n = 0 不合题意，舍去. 故 n = 5
所以，三角形的三边分别是 4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.
(1)三边的长不可能是 1,2,3. 这是因为1+ 2 = 3 ，而三角形任何两边之和大于第三边.
(2)如果三边分别是 a = 2,b = 3,c = 4 .
因为 cos A = b2 + c2 a2 = 32 + 42 22 = 7 2bc 2 3 4 8
cos2 A = 2cos 2 A 1 = 2 ()2 1 =
7 17
8 32

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a2 + b2 c2 22 + 32 42 1
cosC = = =
2ab 2 2 3 4
在此三角形中， A是最小角， C 是最大角，但是 cos2 A cosC，
所以 2A C ，边长为 2,3,4 的三角形不满足条件.
(3)如果三边分别是 a = 3,b = 4,c = 5 ，此三角形是直角三角形，最大角是 90 ，最小角 不等于 45 . 此三角形不满足条件.
(4)如果三边分别是 a = 4,b = 5,c = 6 .
此时， cos A = b2 + c2 a2 = 52 + 62 42 = 3 2bc 2 5 6 4
cos2 A = 2cos 2 A 1 = 2 ()2 1=
3 1
4 8
cosC = = =
a2 + b2 c2 42 + 52 62 1
2ab 2 4 5 8
此时， cos2 A = cosC ，而 0 2A, C 几 ，所以 2A = C
所以，边长为 4,5,6 的三角形满足条件.
(5)当 n > 4 ，三角形的三边是 a = n,b = n +1, c = n + 2 时， 三角形的最小角是 A，最大角是 C .
cos A =
=

=

=
1 3
= + 2 2(n + 2)
cosC =

n2 + (n +1)2 (n + 2)2
=
2n(n +1)

=

n 3
= 2n
1 3
= 2 2n
cosA 随 n 的增大而减小， A随之增大， cosC 随 n 的增大而增大， C 随之变小. 由于 n = 4 时有 C = 2A，所以， n > 4 ，不可能 C = 2A .
综上可知，只有边长分别是 4,5,6 的三角形满足条件.

第二章 数列
n 2n 1 n 2n n n1
；
.
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2． 1 数列的概念与简单表示法 练习 (P31)
1、
n 1 2 … 5 … 12 … n

a 21 33 … 69 … 153 … 3(3+ 4n)
n

2、前 5 项分别是： 1,0, 1,0, 1 .
3、例 1 (1) a = 〈 n(1) (n = 2m, m N*) ； (2) a = 〈(|2(n = 2m, m N*)
n n(1) (n = 2m 1,m N*) n |0(n = 2m 1,