2020-2021学年高中数学人教B版必修第三册课后习题：7.3.3余弦函数的性质与图像.docx

7.3.3 余弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升

基础达标练

1.函数 y=cos(4x + 3(π)) 的图像的两条相邻对称轴间的距离为( )

A.π B.π C.π D.π 8 4 2
解析 y=cos(4x + 3(π))的最小正周期 T= 4(2π) = 2(π).
2 4
其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为 d=T = π.

答案 B

,则下列结论正确的是( )
2.(多选)设函数f(x)=cos x+π
6
A.f(x)的一个周期为 2π
B.y=f(x)的图像关于直线 x=-π对称
6

的一个零点为 π
C.f x+π
3

2π ,π
上单调递减
D.f(x)在

3
解析已知函数f(x)=cos x+π .
6
在 A 中, 由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为 2π,故 A 正确;

在 B 中,函数 f(x)=cos x+π 的对称轴满足条件 x+π =kπ,k∈Z, 即 x=kπ-π ,k∈Z,所以 y=f(x)的图像关于
6 6 6
直线 x=-π对称,故 B 正确;
6

=-sinx,-sinπ=0,所以 f x+π
的一个零点为 π ,故 C 正确;
在 C 中,f x+π
=cos x+π
3
3
2

2π
π
上先减后增,故 D 错误.
,π 3
在 D 中,函数 f(x)=cos x+ 在
6
答案 ABC
3.函数 y=sin2x-cos x+1 的最大值为.
解析 y=sin2x-cosx+1=-cos2x-cosx+2

1 9
2 4.
=- cosx+ 2 +

∵-1≤cosx≤1,
∴ 当 cosx=- 2(1)时,yma4(9).

答案9
4

4. 已知函数 y=a-bcos x 的最大值是2(3),最小值是- 2(1),求函数 y=-4bsin ax 的最大值、最小值及周期.
解∵-1≤cosx≤1,由题意知 b≠0.
当 b>0 时,-b≤-bcosx≤b,
∴a-b≤a-bcosx≤a+b.
∴ 2(1)32, ,解得{b(a) ,

2
∴y=-4bsinax=-4sin1x.

最大值为 4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当 b<0 时,b≤-bcosx≤-b,
∴a+b≤a-bcosx≤a-b.
∴ ,- 2(1) ,解得{b(a) 12-1(,) .

2
∴y=-4bsinax=4sin1x.

最大值为 4,最小值为-4,最小正周期为4π.
2 2
5. 已知函数 y=1cos x+1 |cos x|.

(1)画出函数的简图.
(2)判断该函数是否为周期函数.如果是,求出它的最小正周期.
(3)求函数的单调增区间.

2 2
解(1)y=1cosx+1 |cosx|

= -π2π2,
函数图像如图.

B
C
D

(2)由图像可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是 2π.

(3)由图像可知函数的单调递增区间为 2kπ-2(π),2kπ (k∈Z).
能力提升练

1.函数 y=-cos x(x>0)的图像中与 y 轴距离最近的最高点的坐标为( )

B.(π,1)
A. 2 ,1 C.(0,1)
π

D.(2π,1)
解析作出函数 y=-cosx(x>0)的图像(图略),由图易知,与 y 轴距离最近的最高点的坐标为(π,1). 答案 B
2.若把函数 y=3cos 2x+π 的图像上的所有点向右平移 m(m>0)个单位后,所得到的图像关于 y 轴对
3
称,则 m 的最小值是( )

A.2π B.π C.π D. π 3 3 6 12

2x+π
解析 y=3cos
y=3cos2 x+π -m .
3
6
3 6 2 6 ,
因为图像关于 y 轴对称,所以当 x=0 时,2×0+π-2m=kπ(k∈Z),m=π −kπ(k∈Z),当 k=0 时,m=π 故选 C.

答案 C
3.函数 y=-xcos x 的部分图像是( )

解析令 y=f(x),因为f(x)的定义域为 R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),
所以函数 y=-xcosx 是奇函数, 图像关于原点对称,所以排除 A,C;

因为当 x∈ 0,π 时,y=-xcosx<0,所以排除 B.
2
故选 D.
答案 D

4 2 ,
4. 已知 ω>0,函数f(x)=cos π -ωx 在 π π 上单调递减,则 ω 的取值范围是( )

1
0,
.
A.(0,2]
2

1 5
,
2 4
.
.
1 3
,
2 4

解析令 t=π -ωx,则函数 f(x)=cos π -ωx ,
4 4
由 y=cost 及 t=π -ωx 复合而成,
4
因为 ω>0,
所以 t=π -ωx 为减函数,
4
上单调递减,
要使得函数f(x)=cos 4(π)-ωx 在 2(π),π
则 y=cost 必须单调递增,
令-π+2kπ≤t≤2kπ(k∈Z),
4
即-π+2kπ≤π -ωx≤2kπ(k∈Z),

解得 π − 2kπ ≤x≤5π − 2kπ (k∈Z),
4 4

要使得函数f(x)=cos
-ωx 在
π π
π 2 ,
上单调递减,
4

则 π ,π ⊆ π − 2kπ , 5π − 2kπ (k∈Z),
2 4 4

2
T=2π =π ,故③正确;
即{π45π4-(-)2kπ2kπ ,(,)解得{

1-8k (k∈Z),
2
5-8k4(k∈Z).

当 k=0 时, 2(1)≤ω≤4(5).
答案 D
5.设函数f(x)=cos(2x + 3(π))+1,有以下结论:
①点 0)是函数f(x)图像的一个对称中心;
②直线 x=π 是函数 f(x)图像的一条对称轴;
3
③函数f(x)的最小正周期是π;
④将函数f(x)的图像向右平移π 个单位后,对应的函数是偶函数.
6
其中所有正确结论的序号是 .
解析∵f(x)的图像是由 y=cos(2x + 3(π)) 向上平移 1 个单位得到,
y=cos(2x + 3(π)) 的对称中心的纵坐标为 0,
∴f(x)的对称中心的纵坐标为 1,故①错;
当 x=π 时,f(x)取得最小值 0,
3
∴x=π是 f(x)的一条对称轴,故②正确;
3

−
x π
为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 y=2cos

f(x)的图像向右平移π个单位后,得到 y=cos2x+1 的图像, 它是偶函数,故④正确.
6
答案②③④
2
6. 已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数 y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为π.
(1)求f( )8(π) 的值;
(2)将函数 y=f(x)的图像向右平移π 个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐
6
标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)的单调递减区间.
解(1)因为f(x)的周期 T=π,故2π =π,所以 ω=2.

所以 f(x)=2cos2x.所以f( )8(π) =2cos4(π) = √2.
(2)将 y=f(x)的图像向右平移 个单位后6(π) ,得到 y=2cos(2x- 3(π))的图像,再将所得图像上各点的横坐标变
的图像,

2 3
所以 g(x)=2cos ).
2 3
当 2kπ≤x − π ≤2kπ+π(k∈Z),
即 4kπ+3(2π)≤x≤4kπ+3(8π)(k∈Z)时,g(x)单调递减, 因此 g(x)的单调递减区间为[4kπ + 3(2π) ,4kπ + 3(8π)](k∈

Z)
.

素养培优练

已知函数f(x)=2cos 2x+π ,x∈R.
4
(1)求函数f(x)的单调递增区间;

3π π
时,方程f(x)=k 恰有两个不同的实数根, 求实数 k 的取值范围;
- ,
(2)当 x∈
8 4

2x+π 的图像向右平移 m(m>0)个单位后所得函数 g(x)的图像关于原点中心对
4
(3)将函数f(x)=2cos
称,求 m 的最小值.
解(1)由余弦函数的单调性,解不等式 2kπ+π<2x+π <2kπ+2π,k∈Z,
4
得3π +kπ区间为 3π +kπ,7π +kπ ,k∈Z.
8 8 8 8

(2)函数 f(x)=2cos 2x+π 的单调递增区间为 3π +kπ,7π +kπ ,k∈Z,单调递减区间为 7π +kπ,11π +kπ
4 8 8 8 8
,k∈Z,

又 x∈[- 8(3π) , 4(π)],所以函数f(x)在 - 上单调递增,在 上单调递减,

8 8 4
则 f -3π =0,f -π =2,f π =-√2,
所以当 0≤k<2 时,函数 y=k 与函数 y=f(x)的图像有两个公共点,
即当 k∈[0,2]时,方程f(x)=k 恰有两个不同的实数根.

(3)函数 f(x)=2cos 2x+π 的图像向右平移 m(m>0)个单位,
4

π
2x+ -2m
,
4
得到图像对应的函数为 g(x)=2cos
则 g(x)是奇函数,

g(0)=2cos 0+π -2m =0,
4
4 2
即π -2m=kπ+π ,k∈Z,
则 m=-8(π) − 2(kπ),k∈Z,
因为 m>0,所以当 k=-1 时,mmi8(3π).

莘莘学子， 最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。 每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每 一日都要更用心。这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀， 抬起下巴，抓住这天，它不再回来。 加油！！