投资与收益风险模型 傅园旭 李冲 程龙.docx

关于投资的收益和风险的建模
傅园旭 李冲 程龙
指导教师：刘利斌
摘要：1.本文建立了一个关于资产组合的收益最大化风险最小化的数学模型
2.本文通过在考虑风险一定时收益最大化，再考虑收益一定时的风险最小化的资产最优组合模型，并对最终的结果进行了优化处理，最终推广到一般的投资之中。

一 问题的重现
市场上有N种资产Si可供选择，某公司有一笔数额为M的相当大量的资金可以用做一个时期的投资。公司的财务分析员经过分析估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，风险损失率为：qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，购买额不超过ui时，按交易费购买ui计算。银行存款利率为ro，无交易费，无风险。
1. 已知n=4时的相关数据如下：
表一
Si
ri（%）
qi（%）
pi(%)
ui(元)
S1
28
2.5
1
103
S2
21
1.5
2
198
S3
23
5.5
4.5
52
S4
25
2.6
6.5
40
要求设计给该公司设计投资方案，使得既有投资，又有存款，并且使得收益尽可能的大，风险尽可能的小。
2. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算；
表二
Si
ri（%）
qi（%）
pi(%)
ui
S1
9.6
42
2.1
181
S2
18.5
54

3.2
401
S3
49.4
60
6.0
428
S4
23.9
42
1.5
549
S5
8.1
1.2
7.6
270
S6
14
39
3.4
397
S7
40.7
68
5.6
178
S8
31.2
33.4
3.1
220
S9
33.6
53.3
2.7
475
S10
36.8
40
2.9
248
S11
11.8
31
5.1
195
S12
9
5.5
5.7
320
S13
35
46
2.7
267
S14
9.4
5.3
4.5
328
S15
15
23
7.6
131

经过分析可知这是一道属于最优化的问题，要使得投资收益尽量的大，风险尽量的小。可以分成两类考虑：即：1)风险一定，收益最大化。2）收益一定，风险最小化。
文中的符号说明：
Si：第i种资产 ri：购买Si的平均收益率 qi：这一时期内购买Si的风险损失率
ui：购买Si的给定值 r0同期银行存款率 Qi：购买Si的风险大小
M：某公司一笔数额的资金 Q：总体风险 xi：购买Si的资金
x0：用于存款的资金 ci：交易费 w：净收益
第i种和第i-1种净收益之差 ：第i种和第i-1种总体风险之差
二 模型假设
1、该公司在某一时期是一次性的投资。
2、该公司在购买Si时不允许，用全部资金购买。
3、不考虑通货膨胀及其它风险情况。
4、银行存款利率不变为：r0
5、总体风险用最大的那个投资Si表示。
6、假设净收益为除去所有支出所剩的利润。
三 模型的建立
一 基本模型：
1.目标方程：考虑到在风险一定的情况下，总收益的最大化。并且考虑到银行存款既无风险也无交易费，则把它单独划出来。目标函数表示如下：
（1）
2.约束条件：
用损失与投资之比衡量风险的大小：
（2）
组合投资的总风险为：
（3）
即有综合以上个式有：
（4）
3.对于给定了风险Q：我们可以建立出如下的模型：

（二） 模型的优化
在正常的情况下，投资者的投资目的就是使收益竟可能的大，并且使风险竟可能的小。一般情况下，随着投资的集中，可以使得收益逐渐变大，同时也使得风险增大，所以，投资者希望可以在风险增加竟可能小的情况下，使得收益竟可能的大。否则投资将失去了原有的意义，不能达到增殖的作用了。因此，寻找一个合适的风险，使得投资者的投资觉得是有收益的就很重要了，我们可以建立一个W—Q的函数关系，拟合出一条曲线，构造出一个寻找最有投资组合指标：=Q

优化模型：对于一个给定的风险：

s.t

（三） 问题的解决
1.由表一可知，该四种资产中，最大的风险损失率为0.055，我们可以把取步长为0.0025，并进行求解，在一系列风险中，最大收益对应的各种投资Si的数目xi以及对银行存款的数目x0的方案， 结果为表3。
表三
Q
w
x0
x1
x2
x3
x4
0
0.05
1
0
0
0
0
0.0025
0.1138
0.5719
0.1
0.1667
0.04545
0.09615
0.005
0.1776
0.1581
0.2
0.3333
0.9019
0.1932
0.0075
0.2089
0
0.3
0.5
0.1363
0.4178
0.01
0.2190
0
0.4
0.5842
0
0
0.0125
0.2276
0
0.5
0.4853
0
0
0.015
0.2354
0
0.6
0.3863
0
0
0.0175
0.2436
0
0.7
0.2873
0
0
0.02
0.2518
0
0.8
0.1882
0
0
0.0225
02699
0
0.9
0.8922
0
0
0.025
0.2673
0
0.9901
0
0
0
0.0275
0.2673
0
0.9901
0
0
0
0.03
0.2673
0
0.9901
0
0
0
0.055
0.2673
0
0.9901
0
0
0

由表可以看出，当Q>0.025时，w的各项值均不在变化。
进一步的，我们还可以改进，在收益尽可能大的基础上，使得风险尽可能的小。经过改进后，可得到如表4的数据：
表4
Q
w

0
0.5
\
\
\
0.0025
0.113819
0.063819
25.5276
\
0.005
0.177639
0.063819
25.5276
0.165256
0.0075
0.26208957
0.031319
12.5276
0.490747
0.01
0.21902
0.008186
3.2744
0.261374
0.0125
0.227206
0.008586
3.4344
1.048864
0.015
0.235392
0.007786
3.1144
0.9906825
0.0175
0.243578
0.008186
3.2744
1.051374
0.02
0.251765
0.008187
3.2748
1
0.0225
0.259951
0.008186
3.2744
0.999878
0.025
0.267327
0.007376
2.9504
0.901051

由表4可得在区间[0.005,0.01]内，可以进一步的细分求解，取步长为0.0005，可得表5
表5
Q
w

0.005
0.177638
\
\
\
0.0055
0.190402
0.012764
25.528
\
0.006
0.20198
0.011506
23.012

0.90142
0.0065
0.204258
0.00235
4.7
0.204241
0.007
0.206607
0.002349
4.698
0.999575
0.0075
0.208957
0.002235
4.7
1.000426
0.008
0.21243
0.002286
4.572
0.97277
0.0085
0.213381
0.002138
4.276
0.935258
0.009
0.21552
0.002139
4.278
1.000468
0.0095
0.217382
0.001862
3.724
0.87050
0.01
0.21902
0.001638
3.276
0.879699
由表5可得：w=0.201908，x0=0，x1=0.24，x2=0.4，x3=0.109091，x4=0.221221，此时，=0.006。
运用matlab软件，经过编程，在图中可以看出，当Q=0.006时，是曲线由快转慢的一个转折点，这符合我们要求的使得“收益在尽可能大的基础上风险尽可能的小”的要求。

具体程序如下：
a=0;
while(1.1-a)>1
c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185];
Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065];
beq=[1];
A=[0 0.025 0 0 0 ;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.55 0;0 0 0 0 0.026];
b=[a;a;a;a];
vlb=[0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
a
x=x'
Q=-fval
plot(a,Q,'.')
axis([0 0.1 0 0.5])
hold on
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
得到结果为：
黑点处为最优的点。

2.一般情况下的分析
当投资相当大时，我们可以忽略给定值ui的影响，则净收益为（ri — pi）。
当投资收益率小于银行存款利率（r0）时，我们一般不考虑投资，而是把资金存在银行，在总风险一定的情况下，资金竟可能的流向收益率高的资产项目上，在收益相同的情况下，资金流向交易费较小的那一个投资项目，因此，我们可以对资产按照净收益率进行排序，结果为：s1 s2 s3 s4 s0;由运算可以看出，随着总体风险的不断减小，投资顺序为：s1 s2 s3 s4 s0,该结果与我们按原则排序是相同的。在一定时期内，风险损失率一定的情况下，投资越分散，风险越小，此时有：（0.当投资的收益率小于银行的利息率时，则，投资者会把资金存在没有风险和交易费的银行里，而不用来进行投资。
2>.在对多种资产进行投资的时候，在总收益一定的情况下，交易费越低的则越先进行投资；在总风险一定时，则将资金尽可能的投向收益率较高的资产项目上。
3>.n越大，Q越小，当n=15时，如果继续增大，则无意义。
3.我们利用解决以上问题的方法决定了一系列的总体风险值在总体风险一定的情况下的几种投资方案，以及最有资产投资组合指标较好的投资方案，其中，步长为0.05.具体数据如表6,表7,表8所示：
表6
Q
w
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15

0
0.05
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0.05
0.2643
0
0
0.0926
0.0833
0.119
0
0.1225
0.735
0.1497
0.9318
0.125
0
0

0.10
0.3353
0
0
0
0.1667
0
0
0
0.147
0
0.1826
0.25
0
0

0.15
0.3496
0
0
0
0.25
0
0
0
0.2206
0
0
0.375
0
0

0.20
0.3586
0
0
0
0.3333
0
0
0
0.2941
0
0
0.3266
0
0

0.25
0.3659
0
0
0
0.4167
0
0
0
0.3676
0
0
0.1653
0
0

0.30
0.3732
0
0
0
0.5
0
0
0
0.4412
0
0
0.4002
0
0

0.35
0.38
0
0
0
0.5833
0
0
0
0.3614
0
0
0
0
0

0.40
0.3868
0
0
0
0.6667
0
0
0
0.2778
0
0
0
0
0

0.45
0.3936
0
0
0
0.75
0
0
0
0.1941
0
0
0
0
0

0.50
0.4004
0
0
0
0.8333
0
0
0
0.1105
0
0
0
0
0

0.55
0.4073
0
0
0
0.9167
0
0
0
0.2683
0
0
0
0
0

0.60
0.4094
0
0
0
0.9434
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0.65
0.4094
0
0
0
0.9434
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0.70
0.4094
0
0
0
0.9434
0
0
0
0
0
0
0
0
0

由上表，我们可以看出，随着总体风险的减小，资产的投资顺序为：s3,s7,s10,s13,s9,s8,s6,s15,s11,s1,s0,这与规律2所列出来的顺序完全相同，说明了2的正确性。
据优化模型，算出的各数见表7
表7
Q
w

0
0.05
\
\
\
0.05
0.26433
0.214333
4.28666
\
0.1
0.335341
0.071008
1.42016
0.33130
0.15
0.349592
0.014251
0.28502
0.27870
0.2
0.358622
0.0090310
0.18060
0.63364
0.25
0.365916
0.007294
0.14588
0.80775
0.3
0.373209
0.007293
0.14586
0.999
0.35
0.380021
0.006812
0.13624
0.93405
0.4
0.386833
0.006821
0.13624
1
0.45
0.393639
0.006806
0.13624
0.95508
0.5
0.400445
0.006806
0.13012
1
0.55
0.407251
0.006806
0.13012
1
0.6
0.409434
0.002183
0.04360
0.33554
由表7可知，，对区间（0.05,0.15）进一步细化，取步长为：0.01得表8
表8
Q
w

0.05
0.264333
\
\
\
0.06
0.294503
0.03117
3.017
\
0.07
0.312441
0.17938
1.7938
0.59456
0.08
0.3229
0.010459
1.0459
0.58306
0.09
0.32994
0.00704
0.704
0.6731
0.1
0.335341
0.005401
0.5401
0.76718
0.11
0.338788
0.003447
0.3447
0.63821
0.12
0.342234
0.003446
0.3446
0.99971
0.13
0.3344914
0.00268
0.0268
0.77771
0.14
0.347253
0.002339
0.2339
0.87276
0.15
0.349592
0.002339
0.2339
1
由表8得：投资的一个较好的组合方案是：

四 模型的评价
1.本文通过线性规划的方法为投资者提供了几种可行性方案，较好的解决了收益与风险的矛盾。
2.模型的使用范围较为广泛，可用于多种投资的情况。
3.通过对模型的求解，找出了模型的一般性的规律，方便今后对模型的进一步的优化，并帮助我们更好的分析，解决经济问题。

参考文献
[1]甘筱青主编. 数学建模教育及竞赛. 江西高教出版社,2004年
[2]赵静主编. 数学建模与数学实验. 高等教育出版社,2010年
[3]周品主编. Matlab数学建模与仿真. 国防工业出版社2009年
[4]李维铮等主编. 运筹学. 清华大学出版社2010年