《图形的相似》提升练习.doc

周末能力提升题《图形的相似》
一．选择题
1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
2．下列四组图形中，一定相似的图形是（　　）
A．各有一个角是30°的两个等腰三角形
B．有两边之比都等于2：3的两个三角形
C．各有一个角是120°的两个等腰三角形
D．各有一个角是直角的两个三角形
3．如上图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．②和④
5．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（　　）
A．20m B．16m C．18m D．15m
6．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（　　）
A． B． C． D．
7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比（　 ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
8．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　）

A． B．BC2=AB•BC C． D．
9．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

二．填空题
10．在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=　 　．
11．如下图，在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=　 　时，△AMN与原三角形相似．
12．如下图，若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　 　．
13．如下图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．

第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
14．一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端　 　米远的地方．
15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．
求证：△ABC∽△BDC．

17．如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．

18．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，
求证：△ABC∽△BCD．

19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．

一．选择题（共9小题）
1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【解答】解：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选：A．
2．下列四组图形中，一定相似的图形是（　　）
A．各有一个角是30°的两个等腰三角形
B．有两边之比都等于2：3的两个三角形
C．各有一个角是120°的两个等腰三角形
D．各有一个角是直角的两个三角形
【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；
B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；
C、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；
D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；
故选C．
3．如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵，AE=2cm，
∴=，∴AC=6（cm），故选C．

4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【解答】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴=，
=，
即==，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选C．　
5．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（　　）
A．20m B．16m C．18m D．15m
【解答】解：∵，
∴，
解得旗杆的高度==18m．
故选C．
6．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵x：（x+y）=3：5，
∴5x=3x+3y，
2x=3y，
∴x：y=3：2=，故选：D．
7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
8．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　）

A． B．BC2=AB•BC C． D．
【解答】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；
AC2=AB•BC，故B错误，
，故C正确，不符合题意；
≈0.618，故D正确，不符合题意．
故选B．
9．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
故选：A．

二．填空题（共6小题）
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=　3　．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴=，
即=，
解得EC=3．
故答案为：3．　
11．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=　2或4.5　时，△AMN与原三角形相似．
【解答】解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，
①若△AMN∽△ABC，
则=，
即=，
解得：AN=2；
②若△AMN∽△ACB，
则=，
即=，
解得：AN=4.5；
故AN=2或4.5．
故答案为：2或4.5．
12．若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　　
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且=，∴△ADE与△ACB的面积比为：，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，
∴△ADE的面积是，故答案为：．　
13．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
14．一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端　15﹣5或5﹣5　米远的地方．
【解答】解：∵演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，
∴距舞台一端是10×（1﹣）=15﹣5（米）．
或10﹣（15﹣5）=5﹣5（米）．
故答案为：15﹣5或5﹣5．
15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=　或　．
【解答】解：∵E为BC中点，正方形ABCD的边长AB=2，
∴BE=×2=1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE===，
∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，则=，
即=，
解得DM=，
②DM与BE是对应边时，则=，
即=，
解得DM=，综上所述，DM=或．
故答案为：或．　
三． 解答题
16．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．
求证：△ABC∽△BDC．
【解答】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
17．如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．　
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），
解得x=2或x=6．所以AP= 或AP=2或AP=6．
18．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．
【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
AC2=AB•AD；
（2）∵E是AB的中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ECA，
∴CE∥AD．