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谈怎样培养高中学生的数学解题能力
【摘 要】高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．也是《普通高中数学课程标准》的要求，课本中的例、习题是经过编者精心设计的，具有典型性的范例作用，极具探究价值．所以在日常教学中应该用好用活课本例题习题，本文笔者就结合自身的教学实践，挖掘课本例、习题的潜在价值，让学生对例、习题进行充分探究，从而启发学生思维，培养他们的数学能力.
【关键词】课本习题；探究；思维；能力
从教以来，我就非常重视教材中例、习题的使用.每道例题都精心研究，每道习题都认真对待.所以以我切身的教学经验来看有效培养学生数学思维能力的关键是用“好”、用“活”课本例题习题.课本的例习题是教材编写者精选的，有丰富的内涵和广阔的外延，即其对理解、巩固知识、培养能力和解题策略形成都具有一定典型作用和潜在的价值.所以我们教师在备课时应该认真钻研，充分发挥课本例习题丰富的内涵和外延作用，引导学生通过观察、比较、猜想、讨论、引伸、拓广，由此及彼等思维训练，以培养学生分析问题和解决问题能力.新课标的理念强调知识是一个螺旋上升的过程，课后习题将已学的和将学的知识串在一起，做好知识本身的衔接，这样有利于学生整体上的认识，不但这样，新教材中的习题不再是以封闭类的题目为主，而是涉及“探究式”的问题比较多．为了使我们的数学教学更加符合新课程理念要求，就需要教师在例题习题教学过程中，除注意增加变式题、综合题外，还应适当留足够时空给学生去做一些探究性较强的习题，从而培养学生思维的深刻性和灵活性，克服学生思维的呆板性．下面就我的教学实践谈谈自己的做法.
1．一题多变，培养学生举一反三的能力
由于篇幅的限制，教材编写都是十分精练，仅是完整的解题格式，省略了分析解决问题思维过程，如果一字不漏地抄上答案，学生只知其然而不知其所以然，这也是数学教学中最大的弊病.“有的学生不知道自己去做什么”，这种教学充其量学生只能获得一种模仿能力，所以要教会学生抓住本质的东西，变式教学是一种可以运用于教学的有效办法．通常可以利用教材中例题习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解．例如：选修2-3教材中，第13页例7、有6个人排成一排：
（1）甲和乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？我们由该题还可以变出本质一样的多种题目，如下面变式练习：
变式： 有3名男生、4名女生排成一排，有多少种不同的排法？
（1）7人站成一排
（2）站成两排，前排3人后排4人
（3）选其中5人排成一行
（4）甲只能在中间或两头
（5）甲、乙二人必须在两头
（6）甲不在排头，乙不在排尾
（7）男生、女生各站一边
（8）男生必须排在一起
（9）男生、女生各不相邻
（10）男生不能相邻
（11）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻
（12）甲、乙中间必须有3人，各有多少种不同的排法
在不断的变化当中，训练学生的思维，让学生学有所获，训练其思维.
2．标新立异、另辟蹊径，培养学生的发散思维能力
课本中的解法是科学正确的，但并非只有一种.教师要引导学生标新立异，鼓励学生不迷信书本，积极思考，敢于探索，敢于创新，可以激发学生积极思考，创新热情，如果学生有了自己新的问题思路，他会为自己的伟大发现而兴奋不已，产生对数学学习极大热情和愉快成功的体验.例如：
必修5第6页余弦定理的证明，书上沿用正弦定理的证明方法，借助于几何图形，其实还有很多种证明方法，在这可以启发学生发散其思维，

由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?
向量数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为a、b的夹角.
向量法证明余弦定理过程：
如图，在△abc中，设ab、bc、ca的长分别是c、a、b.
由向量加法的三角形法则可得 ，
上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，与属于同起点向量，则夹角为a；与是首尾相接，则夹角为角b的补角180°－b；与是同终点，则夹角仍是角c.
在新知建构和解决问题的过程中，一题多解表现为从不同角度进行分析、思考，由此产生不同的方法.因此通过一题多解我们不仅促进学生智慧的生成、思维的发展，使学生在思考问题时能想得全，不重复，不遗漏，有规律，也使学生解决问题的策略多，方法灵活，同时还尊重了学生个体差异.
3．多题一解，培养学生抽象概括的能力
数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心．它具体表现为对概括的独特的热情，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面．在数学抽象概括能力方面，不同数学能力的学生有不同的差异，具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作，如必修4 p.137a第13题：化简：
（1）求函数 的最大值与最小值；
（2）你能用a，b表示函数 的最大值与最小值吗？
这些习题都有一个共性，就是把形如 （a，b不同时为0）的式子化为 的式子，我们可以引导学生观察式子结构，具有什么特征，与已学的和差角公式有相似的地方吗？对于特殊值可以用特殊角的三角函数值来代替，那对于非特殊值又怎样做呢？能不能用一种形式来表示？教学过程不断让学生归纳概括，把不熟悉的知识尽可能转化为学生熟悉的知识，逐步实现思维的正向迁移.
4．通过应用性例题，培养学生应用数学解决实际问题的能力
学习数学就是为了应用数学知识解决实际问题．因此，对新学习的数学知识，教师应多方搜集现实生活及其他学科中与新知识相联系的背景，创设数学问题情境，而当学生掌握了有关知识和技能后，再引导学生在现实世界中探求应用，构造数学模型解决实际生活中的问题，这样，在学习过程中理论与实际形影不离．如选修2-3第77页独立性检验这部分，例1:为了谈及患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，根据调查结果分析：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？这是与我们生活实际息息相关的事情，极易引发学生的学习兴趣，在例题的探究过程中充分理解卡方.适当开展实习作业，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及初步的数学建模能力，发展学生的数学应用意识，提高他们的数学实践能力.课本中实际应用例题很多.要充分利用好这些例题培养学生数学思维能力.
课本习题较多，教师要抓重点，并且从以上各个方面精心挖掘其潜力，在日常教学中，将课本例习题充分挖掘，巧妙加工、变换、伸延，学生利用这些习题进行自主或合作探究．只有这样，学生才会真正从题海战术中脱身出来，再也不会有数学是枯燥无味的感觉，才会感受到学习是多么的轻松愉快，培养了他们的思维能力.
参考文献
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[2] 詹庆华．高中数学必修4（人教a版）教材习题特点分析及建议[j]．中学数学教学参考，2007（6）．
[3] 高存明.普通高中课程标准实验教科书(选修1-2). 人民教育出版社(b版).