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例谈数学解题中学生逆向思维的培养

甘肃省临洮中学 裴生军

思维是人的理性认识过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为正向思维（常规思维）和逆向思维。逆向思维就是按研究问题的反方向思考的一种方式。在解题中从问题的正面思考陷入困境时，则从问题的反面思考往往会绝处逢生，使问题迎刃而解。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和双向性，它是克服正向思维的心理定势，突破旧有思维框架，产生新思维，发现新知识、新解法的重要思维方式。因此，在教学中，特别在数学解题中，应该重视学生逆向思维能力的培养。根据本人的教学经验，本文就从以下几个方面说明学生逆向思维的培养。
1. 从数学定义、公式的可逆性进行逆向思维培养
因为数学定义本身是等价命题，而作为定义的命题其逆命题成立，则由它生成的公式法也具有可逆性。
例1.求和1×2×3×4+2×3×4×5+…+n(n+1)(n+2)(n+3).
分析：本题若从正面思考入手较难，但注意到公式:C4n+3= ，逆向思考有:n(n+1)(n+2)(n+3)=4!C4n+3，则有以下简捷解法。
解：原式= m(m+1)(m+2)(m+3)
= 4！C4m+3
=4！（C44+C45+C46+…+C4n+3）=4！C5n+4=
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

点评：本题解的关键在于逆向使用组合数公式。
例2.设f(x)=4х-22х+1，求f-1(0).
分析：常见的方法是：先求出反函数f-1(x)，然后再求f-1(0)的值。但只要我们逆用反函数的定义：令f(x)=0，解出的x值即为f-1(0)的值。即f-1(0)=1.
点评：本题解的关键是逆用反函数的定义，避免了求f-1(x)带来的不必要麻烦。
2．运用运算与变换的可逆性进行逆向思维培养
数学中的各种变换与运算是正、逆交替的，如映射与逆映射，函数与反函数，指数函数与对数函数等，它们可以相互转化。
例3.比较 log20032004与log20042005的大小。
分析：本题若正面思维而用比较法较困难，但若以对数运算的变换及对数的逆运算思考，则易解决。
解：因为log20032004= log2003 =1+ log2003 ，
log20042005= log2004 =1+ log2004
令 x =log2003 ,y =log2004 ，则 2003x= ，
2004y= ，又 > , 所以 2003x>2004y.（若x < y,由指数函数图象知，2003x＜2004y，产生矛盾. )所以x > y.
即 log20032004>log20042005
3. 从“相等”与“不等”的相互转化进行逆向思维培养
“相等”与“不等”在某种情况下，它们可以相互转化，这种转化能使许多难题得以化解。

例4.设x1,x2,x3,x4,x5,为自然数，且x1x2+3)=4x2+30,即132≥4x2+30,∴x2≤ ,∵x2是自然数,∴x2取最大值25;同理可求得x3的最大值为26,故x1+x2+x3的最大值为75.
4. 从“正面”与“反面”的相互转化进行逆向思维培养
对于一些从“正面进攻”很难凑效或运算较繁的问题可先功其反面，从而使正面问题得以解决，反过来也一样。
例5．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是
分析：若分类讨论，需讨论：一负一正根及两负根情形，较繁；若考虑问题的反面，无负根即只有两正根情形。
Δ≥0 4-4a ≥0 a≤1
X1+ X2＞0 => - ＞0 => a＜0 => a∈φ
X1X2＞0 ＞0 a＞0
在有实根的大前提下，至少有一负根是只有正根（即无负根）的反面；故至少有一负根的充要条件是:在△≥0中，排除只有正根的情况，即a≤1.
例6．求证方程x2-2003x+2005=0无整数根。
分析：若用求根公式讨论，运算量大，不易证明，而从结论的反面思考，逆向思维，结果不难得证。

证明：设方程有两个整数根α、β，由根与系数的关系得
α+β=2003 ①
α·β=2005 ②
因为α，β均为整数，由②知α、β必为奇数，而两个奇数之和必为偶数，与①矛盾。故α、β不可能为整数，问题得证。

说明：1.“至少”性问题大多可从其反面思考。这类题目在求概率问题和排列组合问题中最为普遍，应予以足够重视。
2.例6的证明方法即为反证法.反证法是数学中很重要的一种证题方法,它从否定命题的结论“出发，通过正确的逻辑推理“导出矛盾”，达到了“推出结论的反面”，从而“肯定这个命题真实”。这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简便。另外，反例排除也是反证法的应用。
5. 从“一般”与“特殊”的相互转化进行逆向思维培养
某些问题可通过对“特殊”情况的分析研究获取解题信息，进而探究“一般”；反之，有时也可以直接根据一般结论来解决特殊问题。
例7.求证:10032005>2005!
分析与略解：本题用通常的求“差(商)比较法”难以凑效,而由均值不等式有一般结论: > = ，即( )n>n! ( n≥2且n∈N).特殊地令n=2005，则知10032005>2005！
6. 从“运动”与“静止”的相互转化进行逆向思维培养
事物的静止是相对的，运动才是绝对的。用运动、变化、联系的观点看问题，才能够抓住事物的本质。

例8.已知是P圆x2+y2-2x=0上任意一点，Q是抛物线y2=x+6上任意一点，求|PQ|的最小值。
分析：本题是一道双“动”题，P“动”，Q也“动”；若设P(х1,у1)，Q(х2,у2)，则х21+у21-2х1=0，у22=х2+6， 然后求|PQ|的最小值,显然这是非常困难的.如果挖掘“静”的因素，抓住Q与圆心C的差，就能化解难点。
解：因为圆上任意一点到圆心C(1,0)的距离恒为圆的半径1,所以,本题可转化为求|CQ|的最小值.
设Q(х,у),则у2=х+6,又|CQ|2=(х-1)2+у2(х≥-6)=х2-х+7=(х-1/2)2+ .
∴当х= 时,|CQ|min=
∴|PQ|min= - 1.
综上所述，在数学解题中加强学生逆向思维培养，可加深学生对知识的理解，进一步完整知识，培养学生思维的敏捷性、深刻性和双向性，克服正向思维的心理定势，真正有利于解题思路的开拓，促进思维结构的完善。

参考文献:
[1].汤兴林.浅谈数学教学中逆向思维能力的培养.数学教学通讯.2003.1.
[2].赵景伦.数学解题中逆向思维的培养途径.数学教学通讯.2003.8.
[3].束云松.重视转化意识 培养创新能力.二十一世纪中国创新教育理论与实践研究.