微积分在经济中的应用.docx

《高等数学》知识在经济学中的应用举例

复利与贴现问题 2
复利公式 2
实利率与虚利率 3
数e的经济解释 4
贴现问题 4
增长率 4
级数应用举例 5
银行通过存款和放款“创造”货币问题 5
投资费用 6
库存问题 8
（一） 成批到货，不允许短缺的库存模型 8
（二） 陆续到货，不允许短缺的模型 11
（三） 成批到货，允许短缺的模型 13

由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

复利与贴现问题
复利公式
货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。
如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。
下面推出按福利计息方法的复利公式。
现有本金A0，年利率r=p%，若以复利计息，t年末A0将增值到At，试计算At。
若以年为一期计算利息：
一年末的本利和为A1=A0（1+r）
二年末的本利和为A2=A0（1+r）+A0（1+r）r= A0（1+r）2
类推，t年末的本利和为At= A0（1+r）t （1）
若把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率可以认为是，容易推得
2）
公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算At的复利公式。
若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数，这时，由于

所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是

例1 A0＝100元，r=8%，t＝1，则
一年计息1期
一年计息2期
一年计息4期
一年计息12期
一年计息100期
连续复利计息
实利率与虚利率
由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％计算；一年计息12期，实际上是按8.3％计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。
这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，8.329％为一年连续复利的实利率。
记r为名义年利率，rm为一年计息m期的实利率，本金A0，按名义利率一年计息m期，一年末将增值到A0（1+）m，按实利率计息，一年末将增值到A0（1+rm）。于是，有
1+rm＝（1+）m，即是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。
若记rm为连续复利的实利率，由于

所以，实利率与虚利率之间的关系为。
数e的经济解释
设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为

这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e元。这可作为数e的经济解释。
由于，所以，这是的实利率大约为172％。
贴现问题
我们已经知道，初时本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年为期的复利公式是，一年均分为m期的复利公式是 ，连续复利公式是。
若称A0为现在之，At为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题，这时利率r称为贴现率。
由复利公式，容易推得：

离散的贴现公式为

连续的贴现公式为
例2 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。
这里，贴现率r=6.5％，未来值At=1200，t=16。所以，现在值

增长率
设变量y是时间t的函数y = f (t)，则比值

为函数f (t)在时间区间上的相对改变量；如果f (t)可微，则定义极限

为函数f (t)在时间点t的瞬时增长率。
对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。
这样，关系式 （*）
就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。
如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。
例3 某国现有劳动力两千万，预计在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056年将有多少劳动力。
由于未来值A0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后将有劳动力

例4 某机械设备折旧率为每年5％，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。
若原价值为A0，经t年后，价值为，这里r=-0.05。由，若取，易算出t=13.86（年），即大约经过13.86年，机械设备的价值是原价值的一半。

级数应用举例
银行通过存款和放款“创造”货币问题
商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保留规定数额的法定准备金，其余部分才能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保留法定准备金，其余部分作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造”货币。
设R表示最初存款，D表示存款总额（即最初存款“创造”的货币总额），r表示法定准备金占存款的比例，r<1。当n趋于无穷大时，则有

若记
它称为货币创造乘数。显然，若最初存款是既定的，法定准备率r越低，银行存款和放款的总额越大。
这是一个等比级数问题。
例如 设最初存款为1000万元，法定准备率20%，求银行存款总额和贷款总额。
这里，R=1000，r=0.2，存款总额D1由级数
1000+1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…
决定，其和

贷款总额D2由级数
1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…
决定，显然
D2=4000（万元）

投资费用
这里，投资费用是指每隔一定时期重复一次的一系列服务或购进设备所需费用的现在值。将各次费用化为现值，用以比较间隔时间不同的服务项目或具有不同使用寿命的设备。
设初期投资为p，年利率为r，t年重复一次投资。这样，第一次更新费用的现值为,第二次更新费用的现值为，以此类推。如此，投资费用D为下列等比级数之和：

于是
例如，建造一座钢桥的费用为380000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，桥的期望寿命为40年；建造一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，若年利率为10%，问建造哪一种桥较为经济？
钢桥费用包括两部分：建桥的系列费用和油漆的系列费用。
对建钢桥，p=380000，r=0.1，t=40，因，则建桥费用

查表知，于是

同样油漆钢桥费用

故建钢桥总费用的现值

类似的，建木桥费用

油漆木桥费用

故建木桥总费用的现值

由计算知，建木桥有利。
现假设价格每年以百分率i涨价，年利率为r，若某种服务或项目的现在费用为p0时，则t年后的费用为

其现值为 。这表明，在通货膨胀情况下，计算总费用D的等比级数是

例如，在上述建桥问题中，若每年物价上涨7%，试重新考虑建木桥还是建钢桥经济？
这里，r=0.1，i=0.07，r-i=0.03 ，
此时，对钢桥，建桥费用和油漆费用分别为

建钢桥总费用的现在值
D=D1+D2=698100（元
对木桥，建桥费用和油漆费用分别为

建钢桥总费用的现在值
D=D3+D4=895550（元）
根据以上计算，在每年通货膨胀7%的情况下，建钢桥经济。

库存问题
库存或存贮在生产系统，商业系统，乃至各个系统中都是一个重要的问题。需求可由库存的输出来供应和满足，库存也要由输入来维持和补充，库存起到调节供应与需求，生产与销售之间不协调的作用。
我们的问题是库存数量为多少时最适宜。控制存货数量的目的是把存货总费用降低到最小。这里，假设存货总费用包括如下三个方面的费用：
1. 生产准备费或订购费：工厂生产产品成批投产，每次投产要支付生产准备费；商店向外订货，每次订货都要支付订购费。假设每次投产的准备费或每次的订购费与投产或订货数量无关。
2. 货物的库存费用：货物存放仓库的保管费。假设在某一时间内单位产品的库存费不变。
3. 缺货损失费：因不能及时满足需求而带来的损失。
另外，还假设需求是连续的，均匀的，即单位时间内的需求是常数，因而在一个计划期内需求的总量是已知的，简言之，需求是一致的，这是确定性库存模型。
我们讨论下列模型：
1) 成批到货，不允许短缺的库存模型
2) 陆续到货，不允许短缺的库存模型
3) 成批到货，允许短缺的库存模型
（一） 成批到货，不允许短缺的库存模型
所谓成批到货，不允许短缺，就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库，由仓库均匀提取（因需求是一致的）投放市场，当前一批库存提取完后，下一批货物立即补足。在这种理想情况下，库存水平变动情况如图1所示：库存量由最高水平逐渐（或线性）的减少到0，此时，库存水平又立即达到最高水平，再循环前过程。这样，在一个计划期内 ，平均库存量可以认为是最高库存量的一半。图中的t表示一个存贮循环延续时间。
Q（库存水平）
每批数量

O
t
t
t
最高库存水平
平均库存水平
T（时间）
图1

由于在一个计划期内需求量是固定的，在这计划期内，如果每批投产或每次订购数量多，自然库存量多，自然库存量多，因而库存费多；但是，这时因投产或订购数少，因此生产准备费或订购费少。如果每批投产或每次订购量少，库存费减少，但因投产或订购次数多，自然，生产准备费或订购费增多。在这两种费用一多一少的矛盾情况下，我们的问题是，如何确定每批投产或每次订购的数量，即选择最有批量以使这两项费用之和为最小。
假设
D：一个计划期内的需求数量，即生产或订货的总量；
C1：一个计划期内每件产品所付库存费；
C2：每批生产准备费或每次订购费；
Q：每批投产或每次订货的数量，即批量；
E：一个计划期内存货总费用，即生产准备费或订购费与库存费之和。
这样，在一个计划期内，自始至终，按图1之分析，库存数量应认为是，即库存量恰是批量之半，所以库存费为；生产次数或订购次数即批数应为，因此，生产准备费或订购费为。于是，存货总费用E与每批数量Q的函数关系为

现存的问题是：决策变量Q，使目标函数取极小值。
由极值存在的必要条件：

或 （1）
由上式解得 （2）
由极值的充分条件：

所以，当批量时，总费用最小，其值：

即 (3)
这就得到了求最优批量及最小总费用的一般表达式（2）和（3）。
表达式（2）在库存理论中称为“经济订购量”或“经济批量”公式。简称为“EOQ”公式。
注意到（1）式：（极值存在的必要条件）可写作：
（4）
（4）式左端正式一个计划期内的库存费，而右端则是一个计划期内的生产准备费或订购费，因此，对“一致需求，成批到货，不许短缺”的库存模型有如下结论：
使库存费与生产准备费（或订购费）相等的批量，是经济批量。
这样，对上述库存问题，我们也可直接由公式（4）来经济批量。
例1 某厂生产摄影机，年产量1000台，每台成本800元，每一季度每台摄影机的库存费是成本的5％；工厂分批生产，每批生产准备费为5000元；市场对产品一致需求，不许缺货，产品整批存入仓库。试确定经济批量及一年最小存货总费用。
解 由题设知，D＝1000台，C2＝5000元，每年每台库存费
C1＝800×5%×4＝160（元）
存货总费用E与每批生产台数Q的函数关系：

由（2）式，经济批量

一年最小存货总费用

图 2
E = E1 + E2

100
200
300
400
250
Q（台）
O
2
4
6
8
E（万元）

由图2可知，库存费用曲线与生产准备费用曲线：

交点的横坐标就是经济批量，其纵坐标刚好是存货总费用的一半。
（二） 陆续到货，不允许短缺的模型
陆续到货，就是每批投产或每次订购的数量Q，不是整批到货，立即补足库存，而是从库存为零时起，经过时间t1才能全部到货。
在此，需补充假设
P：每单位时间内的到货量，即到货率；
u：每单位时间内的需求量，即需求率。
显然，若P>u，每单位时间内净增加存货为P-u，到时刻t1终了库存出现一个顶点，这时，库存量为t1(P-u)。

由于经历时间t1到货总量为Q，因此，从而最大库存量为

这种库存模型的库存水平变动情况如图3所示。
T（时间）
图3
Q（库存水平）
O
t
t
t
t1(P-u)
平均库存水平
t1
t1
t1

这样，在一个计划期内，平均库存量应为最大库存量之半，因而库存费为。
本问题中，因为生产准备费或订购费与“成批到货，不许短缺”库存模型一样，因此，存货总费用E与每批数量Q的函数关系，即目标函数是

为决策变量Q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量

这时，库存总费用的最小值

最优批量Q*的表达式（6）也可由下式得到：

例2 同例1，但产品陆续存入仓库，每月到货200台，试确定经济批量和最佳费用。
解 已知条件是：

由（5）（6）（7）可得经济批量为327.3台，这时最佳费用为30550元。
（三） 成批到货，允许短缺的模型
前面讨论的两个库存模型是不允许缺货。允许缺货是指，缺货时未能满足的需求，在下一批货物到货时要予以满足，而且缺货时的需求直接输出而不经过库存。其它情况同模型一。如果缺货带来的损失很小，且不会因暂时缺货而失去销售机会，缺货现象是允许存在的。
允许缺货情况，库存水平变动情况见图4。图中的t是一个存贮循环延续时间，从前一批到货至库存量减少为0的时间为t1，从库存是0至下一批货物到达的时间为t2。

Q（库存水平）
批量Q

O
t2
t
t
最高库存水平
T（时间）
图4
t2
t1
t1
B
Q－B

这里尚需补充假设
B：库存得到补充之前的允许缺货量；
C3：在一个计划期内，缺一件产品的损失费。
需要注意的是每批投产或每次订购的数量Q包括了最大的允许缺货量B。
本库存模型中，生产准备费与订购费与前面模型相同：
库存费：因有货时间t1占一个存贮循环时间的比率为，所以，在一个机会期内，有货时间所占比率也为。有货时，最大库存量为Q-B，从而平均库存量为，由图4中 相似三角形易知

因此，在一个计划期内，库存费为

缺货费：在缺货时间t2占一个存贮循环时间的比率为，在一个计划期内，缺货总时间所占比例也为。最大缺货量为B，因此，平均缺货量为，由图4的相似三角形得知。因此，在一个计划期内，缺货量为.
综上，在一个计划期内，库存总费用

或写作
这是该问题的目标函数。
现在的问题是决策两个变量Q和B，以使目标函数取极小值。
根据（8’）式，由二元函数极值存在的必要条件，有

解该方程组，可得

可以验证极值存在的充分条件满足：
，
因此，将 代入（8）式，可得存货总费用的最小值：

比较（9）式和（3）式，如果缺一件产品的损失费C3为无穷大，因，则（9）式就是（3）式，这表明：不允许缺货可视为缺货损失为无穷大的情况。此式，又因，由（10）式知，恰有缺货量B*=0。
例3 某厂，一年劳动日为300天，生产率（单位时间内的产量）固定，一年可组装机床1500台；若组装一台机床的零部件价值14400元，而一年的保管费为其价值的22％，因缺零部件而停工，少装一台机床的损失费为零部件价值的50％；又每次订购零部件的手续费为7500元，为使一年存货总费用最小，试就下列各种情况决策最优批量和允许缺货量（如果允许缺货的话）并计算最佳费用：
（1）不管每次订购数量为多少，都可立即到货，不允许停工待料；
（2）若订货后，每天可到货30台机床的零部件，不允许停工待料；
（3）不管每次订货多少，都可立即到货，允许停工待料，但缺料时未完成的任务，当到货后，可不占劳动日就能完成。
解 由题设知
（1）这是成批到货，不许缺货的情况。目标函数为：
，
由（2）式得最优批量84.27，可取Q*=84台；由目标函数可得最佳费用E*＝266985元。
（2）这是陆续到货，不许短缺的情况。目标函数为

由（6）式得最优批量92.3，取Q*=92台；最佳费用E*＝243723元。
下面，比较成批到货和陆续到货两种情况：

成批到货
陆续到货
最优批量
最大库存水平
一年订购次数
一年总费用
Q=84
Q=84
N=18(实为17.85)
E=266985
Q=92
Q=77
N=17(实为16.3)
E=243723

显然，陆续到货总费用减少，这是因为一年订购次数减少且平均库存量减少。
（3）这是成批到货，允许短缺的情况。目标函数

由（9）式和（10）式可分别得到最优批量和最大缺货量：
由此知，允许停工待料的情况，取，最佳费用E＝222487元。这种情况也比第一种情况节省存货总费用。