2024年数值计算方法试题集及答案.doc

《数值计算措施》复习试题
一、填空题：
1、，则A的LU分解为 。
答案：
2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得 。
答案：2.367，0.25
3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，
4、近似值有关真值有( 2 )位有效数字；
5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( )；
答案
6、对,差商( 1 ),( 0 )；
7、计算措施重要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；
9、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )；
10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；
11、 两点式高斯型求积公式≈( )，代数精度为( 5 )；
12、 解线性方程组Ax=b的高斯次序消元法满足的充要条件为(A的各阶次序主子式均不为零)。
13、 为了使计算 的乘除法次数尽也许地少，应将该体现式改写为 ，为了减少舍入误差，应将体现式改写为 。
14、 用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
15、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
16、 求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为 ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径= 。
17、 设,则 ，的二次牛顿插值多项式为 。
18、 求积公式的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具备( )次代数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求≈( 12 )。
20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( 2.5 )。
21、假如用二分法求方程在区间内的根精准到三位小数，需对分（ 10 ）次。
22、已知是三次样条函数，则
=( 3 　 )，=（ 3 　 ），=（　 1 ）。
23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
( 1 )，( )，当初( )。
24、解初值问题的改进欧拉法是
　2　　阶措施。
25、区间上的三次样条插值函数在上具备直到_____2_____阶的连续导数。
26、变化函数 ()的形式，使计算成果较精准 。
27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精准到第3位小数，则需要对分 10 次。
28、设是3次样条函数，则
a= 3 , b= -3 , c= 1 。
29、若用复化梯形公式计算，要求误差不超出，利用余项公式估量，最少用 477个求积节点。
30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 收敛 。
31、设,则 9 。

32、设矩阵的，则 。
33、若，则差商 3 。
34、数值积分公式的代数精度为 2 。
35、 线性方程组的最小二乘解为 。
36、设矩阵分解为，则 。
二、单项选择题：
1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（ C ）。
A．A的各阶次序主子式不为零 B．
C． D．
2、设，则为( C )．
A． 2 B． 5 C． 7 D． 3
3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。
A． 2 B．5 C． 3 D． 4
4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。
A． 对称阵 B． 正定矩阵
C． 任意阵 D． 各阶次序主子式均不为零
5、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值措施求得的准确值
C． 观测与测量 D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A． 6 B． 5 C． 4 D． 7
7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。
A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目标是( A )。
A．控制舍入误差 B． 减小措施误差
C．预防计算时溢出 D． 简化计算
9、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。
A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断
10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。
A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2
12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。
A． 3 B． 4 C． 5 D． 2
13、( D )的3位有效数字是0.236×102。
(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是( B )。
(A) y=j(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标
(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=j(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( A ) 。
(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9
16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
(B)
(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
(D)
17、等距二点求导公式f¢(x1) »( A )。

18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立对应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
(A)
(B)
(C)
(D)
20、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( A )
(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ 　　 ）。
（1）, (2) , (3) , (4)
22、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能确保，因此实际应用中，当（ 　 ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）， （2）， （3）， （4），
23、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ 　　 ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
24、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为确保该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ 　　 ）。
(1), (2), (3), (4)
25、取计算，下列措施中哪种最佳？（　　　　）
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
26、已知是三次样条函数，则的值为( )
(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。
27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　　　）

１
1.5
２
2.5
３
3.5

-1
0.5
2.5
5.0
8.0
11.5
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
28、形如的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（　　　　）
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
29、计算的Newton迭代格式为( )
(A) ；(B)；(C) ；(D) 。
30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数最少为( )
(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。
31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( )
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( )
(A)； （B）； （C）； （D）。
33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，最少具备( )次代数精度
(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。
34、已知是三次样条函数，则的值为( )
(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。
35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是( )
(A)； (B)； (C)； (D)
36、由下列数据

0
1
2
3
4

1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为( )
(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。
37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( )
(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。
三、是非题（以为正确的在背面的括弧中打Ö，否则打´）
1、 已知观测值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n能够任意取。 ( )
2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )
3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( Ö )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的成果。 ( Ö )
5、矩阵A=具备严格对角占优。 ( )

四、计算题：
1、 用高斯-塞德尔措施解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案：迭代格式

k

0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019

2、 求A、B使求积公式的代数精度尽也许高,并求其代数精度；利用此公式求(保存四位小数)。
答案：是精准成立，即
得
求积公式为
当初，公式显然精准成立；当初，左=，右=。因此代数精度为3。

3、 已知

1
3
4
5

2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保存四位小数）。
答案：

差商表为

一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2

3
6
2

4
5
-1
-1

5
4
-1
0

4、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题

答案：解：
即
n
0
1
2
3
4
5

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
5、已知

-2
-1
0
1
2

4
2
1
3
5
求的二次拟合曲线，并求的近似值
答案：解：

0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20

0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为

6、已知区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
如用二次插值求的近似值，怎样选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差

尽也许小，即应使尽也许小，最接近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最佳，实际计算成果
，
且

7、结构求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。
答案：解：令 .
且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为

则当初
，
故迭代格式

收敛。取，计算成果列表如下：
n
0
1
2
3

0.5

0.035 127 872
0.096 424 785
0.089 877 325
n
4
5
6
7

0.090 595 993
0.090 517 340
0.090 525 950
0.090 525 008
且满足 .因此.
8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 。
答案：解：
令得，得.
9﹑对方程组
（1） 试建立一个收敛的Seidel迭代公式，阐明理由；
（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：
.
10、已知下列试验数据
xi
1.36
1.95
2.16
f(xi)
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：
11、用列主元素消元法求解方程组 。
解：

回代得 。
12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估量误差。
解：

又
故截断误差 。
13、用欧拉措施求

在点处的近似值。
解：等价于
()
记,取,.
则由欧拉公式
,
可得 ,

14、给定方程
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精准到5位有效数字；
3) 阐明所用的迭代格式是收敛的。
解：1）将方程 （1）
改写为
（2）
作函数，的图形（略）知（2）有唯一根。
2) 将方程（2）改写为
结构迭代格式
计算成果列表如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
1.22313
1.29431
1.27409
1.27969
1.27812

1.27856
1.27844
1.27847
1.27846
3) ，
当初，，且

因此迭代格式 对任意均收敛。
15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保存五位小数。
解：是的正根，，牛顿迭代公式为
， 即
取x0=1.7, 列表如下：

1
2
3

1.73235
1.73205
1.73205
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1，5)的近似值，取五位小数。
解：

17、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估量。
解：
，时，

最少有两位有效数字。
18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =，
取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保存三位小数。
解：Gauss-Seidel迭代格式为：

系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.
取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

1
1.667
0.889
-2.195
2
2.398
0.867
-2.383
3
2.461
0.359
-2.526
19、用预估—校正法求解(0£x£1)，h=0。2，取两位小数。
解：预估—校正公式为

其中h=0.2，，代入上式得：

1
2
3
4
5

0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1.24
1.58
2.04
2.64
3.42
20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合如下数据：

19
25
30
38

19.0
32.3
49.0
73.3
解：

解方程组
其中
解得： 因此 ，
21、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，试用余项估量其误差。用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
解：

22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不一样的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一个收敛格式计算附近的根，精准到小数点后第三位。
解：（1），，故收敛；
（2），，故收敛；
（3），，故发散。
选择（1）：，，，，，
，
23、（8分）已知方程组，其中
，
（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
解：Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法：
，

24、1、（15分取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。

解：改进的欧拉法：
因此；
经典的四阶龙格—库塔法：
，因此。

25、数值积分公式形如
试确定参数使公式代数精度尽也许高；（2）设，推导余项公式，并估量误差。

解：将分布代入公式得：
结构Hermite插值多项式满足其中
则有：，

26、用二步法

求解常微分方程的初值问题时，怎样选择参数使措施阶数尽也许高，并求局部截断误差主项，此时该措施是几阶的

解：

因此
主项： 该措施是二阶的。

27、（10分）已知数值积分公式为：
，试确定积分公式中的参数，使其代数精准度尽也许高，并指出其代数精准度的次数。
解：显然精准成立；
时，；
时，；
时，；
时，；
因此，其代数精准度为3。
28、（8分）已知求的迭代公式为：

证明：对一切，且序列是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
证明：
故对一切。
又 因此，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。

29、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为何？其代数精度是多少？
解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为
。其代数精度为1。
30、(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(6分)，n=0,1,2,…
∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估量误差。
用Newton插值措施：差分表：
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0.
10+0.0476190(115-100)-0.(115-100)(115-121)
=10.7227555

32、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。

或利用余项：

，，
33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000
0.0000 3.6667 0.3333 12.6667
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333
0.0 0000 1.9375 9.6875

34、(8分)求方程组 的最小二乘解。
，，
若用Householder变换，则：

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.

35、(8分)已知常微分方程的初值问题：

用改进的Euler措施计算的近似值，取步长。
，

36、(6分)结构代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：
， ，
f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2
37、（15分）已知方程组，其中，，
（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种措施的收敛性，假如均收敛，阐明哪一个措施收敛更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为
，
，，Jacobi迭代法收敛
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为
，
，，Gauss-Seidel迭代法发散

38、（10分）对于一阶微分方程初值问题，取步长，分别用Euler预报－校正法和经典的四阶龙格—库塔法求的近似值。
解：Euler预报－校正法

经典的四阶龙格—库塔法

()

39、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题，问：怎样选择参数的值，才使该措施的阶数尽也许地高？写出此时的局部截断误差主项，并阐明该措施是几阶的。
解：局部截断误差为

因此有
局部截断误差主项为，该措施是2阶的。
40、(10分)已知下列函数表：

0
1
2
3

1
3
9
27
(1)写出对应的三次Lagrange插值多项式；
(2)作均差表，写出对应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。

解：（1）

（2）均差表：

41、(10分)取步长，求解初值问题，分别用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求的近似值。

解：（1）欧拉预报-校正法：

（2）经典四阶龙格-库塔法：

42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保存4位小数）。
解：5个点对应的函数值
xi
0
0.5
1
1.5
2
f(xi)
1
0.666667
0.333333
0.181818
0.111111
----------------------------------------------------------（2分）
(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

43、(10分)已知方程组，其中
，
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。

解：（1）Jacobi迭代法：

Jacobi迭代矩阵：
收敛性不能确定
（2）Gauss-Seidel迭代法：

Gauss-Seidel迭代矩阵：
该迭代法收敛

44、(10分) 求参数，使得计算初值问题的二步数值措施
的阶数尽也许高，并给出局部截断误差的主项。
解：

因此当，即时，
局部截断误差为
局部截断误差的主项为，该措施为二阶措施。