2024年中央电大经济数学基础应用题和计算题考点版.doc

五、应用题（本题20分）
1．设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
求：（1）当初的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？
解：（1）总成本，
平均成本，
边际成本．
因此，（万元），
（万元）
．（万元）
（2）令 ，得（舍去）．
因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，因此当初，平均成本最小.

2．.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为元/件），问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少．
解：成本为：
收益为：
利润为：
，令得，是惟一驻点，利润存在最大值，因此当产量为250个单位时可使利润达成最大，且最大利润为（元）。

3．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低．
解：成本函数为：
当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
100（万元）

，令得，（负值舍去）。是惟一驻点，平均成本有最小值，因此当（百台）时可使平均成本达成最低.
3、投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为（万元/百台）。试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低。
解：成本函数为：
当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
140（万元）

，令得，（负值舍去）。是惟一驻点，平均成本有最小值，因此当（百台）时可使平均成本达成最低。

4．已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益，求：①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解：边际利润为：
令得，。是惟一驻点，最大利润存在，因此
①当产量为500件时，利润最大。
② - 25（元）
即利润将减少25元。

5．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

解：因为总成本函数为
=
当= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即
C()=
又平均成本函数为

令 ， 解得= 3 (百台)
该问题确实存在使平均成本最低的产量. 因此当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
(万元/百台)

6、已知生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，收入函数为（万元），求使利润达成最大时的产量，假如在最大利润的产量的基础上再增加生产台，利润将会发生怎样的变化？
解：边际利润为：
令得，是惟一驻点，而最大利润存在，因此当产量为3百台时，利润最大。当产量由3百台增加到5百台时，利润变化量为

（万元） 即利润将减少4万元。

7..设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中为产量，单位：百吨．销售百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产百吨，利润会发生什么变化？
.解：⑴因为边际成本为 ，边际利润

令，得能够验证为利润函数的最大值点. 因此，当产量为百吨时利润最大.
⑵当产量由百吨增加至百吨时，利润变化量为

（万元）
即利润将减少1万元.

8..设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
求：⑴当初的总成本和平均成本；⑵当产量为多少时，平均成本最小？

　.解：⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

，
因此，
，
⑵
令 ，得（舍去），能够验证是的最小值点，因此当初，平均成本最小．

线性代数计算题
1、 设矩阵，求。
解：因为

因此，。

2、设矩阵A =，I是3阶单位矩阵，求。
解：因为，
(I-A I ) =

因此=。

3．设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1．
．解：因为AB ==
(AB I ) =

因此 (AB)-1=

4．、设矩阵，，求
解：求逆矩阵的过程见复习指引P77的4，此处从略。
；因此，。

5．．设矩阵，求解矩阵方程。
解：
∴ ∴

6．.设矩阵，求
.解：利用初等行变换得

　　 即　　　　　 　　　　　　　　　 　　
由矩阵乘法得
　。
1．求线性方程组的一般解．
．解：因为增广矩阵

因此一般解为 （其中是自由未知量）

2．求线性方程组的一般解．
解：因为系数矩阵

因此一般解为 （其中，是自由未知量）
3、当取何值时，齐次线性方程组
有非0解？并求一般解。
解：因为系数矩阵 因此当= 4时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为： （其中是自由未知量）。

4．、问当取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的一般解。
解：方程组的增广矩阵

因此当初，方程组有解；
一般解为：（其中是自由未知量）

5．
解：

因此，方程组的一般解为：（其中是自由未知量）

6．求线性方程组

　.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

此时齐次方程组化为
得方程组的一般解为
其中是自由未知量．

7．.当为何值时，线性方程组

有解，并求一般解。
解：
因此，当初，有解。一般为：（其中是自由未知量）

v微分计算题
试卷
1．设，求．
．解：因为

因此
2．计算积分 ．
．解：

3．设，求．
．解：

4．．计算积分 ．
．解：
5．.设，求．
. 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

　6．.计算．
………10分
　 解：由不定积分的凑微分法得

7．.已知，求．
. 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

　8．计算．

　. 解：由定积分的分部积分法得

作业
（1），求
解：
（2），求
解：

（3），求
解：

（4），求
解：

（5），求
解：

（6）
解：
（7）

解：
（8）
解：

（9）
解：措施1

（10）
解：
（11）
解：
（12）
解：

（13）
解：
（14）
解：

复习指引
1、设，求。
解：

2、设，求。
解：

3、设，求。
解：

4、设，求。
解：

5、设，求。
解：

6、设，求。
解：

7、设，求。
解：

8、
解：原式=

9、
解：原式=

10、
解：原式=

=
11、
解：原式=

12、
解：原式=