高等数学续导数在经济学中应用.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,4,导数在经济学中的应用,4.1,边际与边际分析,规律的方法叫作,边际分析法,。,1,、边际成本,设成本函数为,，,当产量由,变为,时，,成本函数的增量为,，,这时成本,函数的平均变化率,为平均意义下，,边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济,济变量的,变化率,。,利用导数来研究经济变量边际变化,当产量由,增加一个单位时所增加的成本，当,时，若上式极限存在，即,可导，则有,我们称,为,边际成本函数,，其经济学的解释为：,近似等于当产量为,时，若再增加一个单位产量所需增加,的成本。这是因为,2,、边际收益,设产品销量为,时的收益为,（称为,收益函数,），,可导时，,收益函数的变化率,称为销量为,时该产品的,边际收入,，它的经济学解释为：,近似等于当销量为,时，再销售一个单位产品所增加,（或减少）的总收益。,当,3,、边际利润,设某产品销量为,时的总利润为,，当,可导时，利润函数的变化率,称为销量为,时的边际利润。,近似等于销量为,它的经济学解释为：,（或减少）的利润,.,时，再多销售一个单位产品所增加,由于总利润为总收入与总成本之差，即,从而,可知边际利润是边际收益与边际成本之差。,设商品的需求量为,，,价格为,，需求函数,4,、边际需求,称为,边际需求函数,。,经济意义,为：当价格为,p,时，价格上涨（或下降）,1,个单,位，需求量将减少（或增加）,个单位。,的反函数,称为,价格函数,。,例,1,设某厂生产某产品的固定成本为,2000,（元），生产,个产品的可变成本为,（元），如果产品的,销售价为,30,元，试求边际成本、边际利润以及边际利润为零时的产量。,解 总成本函数为,故边际成本函数,又由总收益函数,知，总利润函数为,故边际利润函数为,显然，当月产量为,1000,单位时，边际利润为零。,例,2,设某产品需求量,，其中,为价格，,求边际收益函数以及,时的边际收益。,解由总收益函数为,，,又根据需求函数知,从而总收益函数为,故边际收益函数为,令,由此可知，当销量小于,500,时，再增加销售可使总收入增加，但销量超过,500,时，收益会减少。,由,得,4,、,2,弹性与弹性分析,定义 设函数,在点,的某个邻域内有定义，,弹性概念是经济学中的另一个重要概念,.,相对改变量,(,或增量,),。,在经济学问题中，光有绝对数的概念是不够的。,例如：甲商品价格为,5,元，涨价,1,元；乙商品价格为,200,元，,涨价,1,元。价格的绝对改变量相同，哪个商品涨价幅度更大？,我们用与原价之比来回答，甲商品涨价幅度为,20%,，乙商品,涨价幅度为,0.5%.,对函数,分别称为自变量与因变量的,且,如果极限,存在，则称此极限值为函数,在,处点弹性，,记为,，,而称比值,在,到,之间的平均弹性。,为函数,可知,当,很小时，得,若函数,在,可导，且对,则称,，,为函数,在区间,内的,点弹性函数,，简称,弹性函数,。,弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。,近似地改变,表示在点,处当,产生,1%,的改变时，,在经济上,（应用中常略去,近似,二字。）,（,1,）,（,2,）,常用的弹性公式,（,4,）,（,5,）,;,b,ax,ax,Ex,Ey,ax+b,y,+,=,=,（,3,）,设商品的需求量为,，,价格为,，需求函数,可导，则称,为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为,表示某商品,程度,.,当价格上涨时，需求减少，因而,是递减函数，,经济学中常见的弹性函数需求的价格弹性,当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映,一般为负值。,从而,有,（,1,）当,时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动,与价格变动按相同百分比进行；,即,商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求,说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，,即价格变动对需求影响不大。,需求的价格弹性在经济学中的意义,：,（,2,）当,时，称为高弹性，此时,量对价格的变动较敏感；,时，此时,（,3,）当,，称为低弹性，,例,3,设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为,为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹,其中,性和低弹性的？,解 由于,故,故当,时为低弹性的。,例,4*,已知某企业某产品和需求弹性在,之间，如果,该企业准备明年降价,10%,，问该商品的销售量预计会增加,即,时，为高弹性的，而当,多少？总收益预计会增加多少？,解由,得,从而,时,当,当,时，,由于,可见明年降价,，企业销售量预计将增加约,总收入增加约,4,3,经济中的优化问题,在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好,等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题。,例,5,某养猪场有固定成本,20000,元，一年最多能养,400,养猪数,的函数,问一年养多少头猪,头猪，已知每养一头猪成本增加,100,元，且总收益,是,总利润最大，最大值是多少？,解由,得,由,得,又,故,为极大值，,从而为年最大利润。,例,6,某企业开发一种新产品，已知生产销售,件产品,所需成本,（元），若每件产品价格按,来定，问生产销售多少件产品，能够使,企业盈利最大？此时价格为多少？,解由,得,令,得唯一驻点,又,故,为极大值点，从而亦为最大值点，此时,（元）,作业,p100,16;17;21.,