银行经理投资问题.docx

数学建模第二次大作业

第二十三组
机制二班
指导教师： 卢鹏

成员
组长：周远贵 20107192
组员：何重阳 20107194
组员：张帅 20107190

银行经理投资问题

摘要
本文针对某银行经理利用一笔闲置资金进行有价证券的投资问题，利用线性规划的方法，建立数学规划模型，运用LINGO软件进行编程，结合诸多约束，求出总收益的最大值。即可求得诸多有关投资的问题。
问题一中，要知道经理的投资方法，如何投资，必须按照收益的最大化来衡量和判断。运用线性规划方法，建立数学规划模型，结合诸多约束，求出收益最大的最优解。即经理投资：A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。
问题二中，涉及到借款的问题，收益就会因借款而减小。同样运用线性规划的方法，对整体求最优解。结果可知：若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。
问题三中，改变收益百分数，从而使收益可能发生改变。运用LINGO软件分别对其求解。运用比较法，检验情况。前一种也就是A税收前收益增加时，方案不变，但总收益增加。而C的税前收益减少为4.8%时，方案变动为A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元，在此情况下，获益最大为29.424万元。
本文最大的特色是可通过各种数据的变动情况，看到总收益和投资情况，清晰地展示出投资的具体方案和收益。用本文所示数学模型还可算出其他可能变动的情况，比较实用。

关键词：线性规划、投资、总收益

一、问题提出
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如图表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元。
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4。
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券信息

问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

二、基本假设
1、信用等级，到期年限等在投资期间均无变化；
2、到期税前收益百分数在特定情况无大的变动；

三、符号说明
x1：A证券的投资资金；
x2：B证券的投资资金；
x3：C证券的投资资金；
x4：D证券的投资资金；
x5：E证券的投资资金；
x6：借款资金。
四、问题分析
该经理投资，要以收益最大为基础，在约束下实现整体最优解。即对目标函数实行有约束的最大化，收益最大，即可显示如何投资，借款后的变动，以及税前收益变动后的有效措施。多用比较法对约束，及其他变动之后的投资手段和方向。主要运用数学规划模型，LINGO软件计算求解。问题二三都是建立在问题一的线性规划的基础上，变动影响条件造成结果的改变
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解
5.1.1 问题一的分析
问题一的求解，在于对收益进行最大化规划，利用投资数量分别算出各种投资的收益，各种收益总和，就是投资方向和方法的判断标准。
5.1.2 问题一模型的建立

5.1.3 问题一模型的求解
运用问题中的各个约束，如平均信用等级约束、平均到期年限约束，及其一些特殊约束对其进行求解。可得到结果：A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为7363636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。
5.1.4 问题一结果的分析及验证
结果表明，经理只须在A、C、E类投资上面进行投资，其他的不容考虑，这样收益较丰，在约束条件下，投资法可行。

5.2 问题二模型建立与求解
5.2.1 问题二的分析
欲知经理具体的操作方法，只需在前面的约束中，增加一个借款约束即可，再通过同样的方法，即可得到第二个全局最优解，就可以知道结果。
5.2.2 问题二模型的建立

5.2.3 问题二模型的求解
增加借款约束，再去掉借款利息而得到最大收益。结果显示经理借款后投资策略改变，投资数量为A证券的投资资金为240万元，C证券的投资资金为810万元，E证券的投资资金为50万元。其他总类不投资。
5.2.4 问题二结果的分析及验证
借款影响了收益情况，总的情况增加了0.23364万元，结果理想。表明在可以借款的情况下，只要投资合理，必定盈利。
5.3 问题三模型建立与求解
5.3.1 问题三的分析
在问题一的基础上，计算出各种收益百分数改变后的整体最优解，即最大收益。再与改变前的最大收益做比较，若收益改变，则看是增加还是减少还是不变，若有改变，则作出调整；若无改变，则可不变。
5.3.2 问题三模型的建立

5.3.3 问题三模型的求解
与问题一的大致相同，改变了其中的某个到期税前收益百分数。投资策略在第一种是不改变，在第二种时，方案改变。A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。
5.3.4 问题三结果的分析及验证
由结果可知，在A税收前收益增加为4.5%时，对此银行经理最有利。
六、模型的评价与推广
7.1 模型的评价
此模型只是简单的线性规划模型，有效地表示出了各个量之间的关系，更以全局最优解为参照，详细地算出了各个约束的影子价格（此题无效）。但是此模型因本身局限，并不能以点盖面地显示出其他有效信息，运用不广。
7.2 模型的推广
该模型主要运用的线性规划的方法，运用范围极广，在生产生活中及其常见，但由于要使用LINGO等数学软件，条件所限，故此模型可广泛运用于生产，营销，投资之前的预计划，更多用于各种战略，决策和决策者的一项参考。其他方面运用较少。
七、参考文献
[1] 姜启源等, 《数学模型》（第四版），高等教育出版社，2010年8月
八、附录
8.1 附录清单
附录1：求解问题一的LINGO程序
附录2：求解问题二的LINGO程序
附录3：求解问题三的LINGO程序
附录4：求解问题一的中间数据
附录5：问题二三的完整数据结果

8.2 附录正文
附录1：求解问题一的LINGO程序
model:
max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;
x2+x3+x4>=400;
0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
end
得：

附录2：求解问题二的LINGO程序
model:
max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-0.0275*x6;
x2+x3+x4>=400;
0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000+x6;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x6<=100;
end
得：

附录2：求解问题三的LINGO程序
model:
max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;
x2+x3+x4>=400;
0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
end

model:
max=0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5;
x2+x3+x4>=400;
0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
end

附录4：求解问题一的中间数据

附录5：问题二三的完整数据结果