八下暑期数学辅导专题五：勾股定理与应用doc.doc

　八下暑期数学辅导专题五：勾股定理与应用

勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2。那么这个三角形是直角三角形．
关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
　　证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

　　所以 SAEML=b2． ① ，可证 SBLMD=a2． ②
　　①+②得：ABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，　即 c2=a2+b2．
　　证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知：ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
　　所以，G=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
　　因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即

　　化简得 a2+b2=c2．
　　证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面
　　S=SABDE+2S△ABC， ①
　　另一方面
　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
　　由①，②

　　所以 c2=a2+b2．
　　关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
　　定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．

　　证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2， ①
　　在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2， ②
　　又BD2=(BC-CD)2， ③
　　②，③代入①得
　　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
　　　=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
　　　=AC2+BC2-2BC·CD，
　　即c2=a2+b2-2a·CD． ④
　　(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，
　　AB2=AD2+BD2， ⑤
　　在直角三角形ACD中，
　　AD2=AC2-CD2， ⑥
　　又BD2=(BC+CD)2， ⑦
　　将⑥，⑦代入⑤得
　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
　　　=AC2+BC2+2BC·CD，
　　即　c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
　　综合④，⑧就是我们所需要的结论

　　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
　　因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；
　　(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；
　　(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
　　例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
　　证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
　　所以 AF=AB． ①
　　在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以，G=FG，
　　AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
　　由①，②得：B2=2FG2．
　　说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
　　例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABC中，AC＝＝＝
例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　
　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　
　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　
　　　　＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　
则c+n=b+m, c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0

(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　
DE＝，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD
例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，
AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　求：的值　（2001年希望杯数学邀请赛，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②
① －②得　（a-b）2=　　　　∴＝
练习：
1. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
2　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
3已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
4已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求证：AE＝AF　　　　　　　　

5在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 　求证∠A＝2∠B
6求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）
7已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
8腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
9已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
10.ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）

11.ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____

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