【解析版】北京市西城区2013-2014学年高二上学期期末考试试题(数学文).doc

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北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷
高二数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．圆的半径为 ( )
A. B. C. D.

2．双曲线的实轴长为 ( )
A. B. C. D.

3．已知为椭圆上一点, 为椭圆的两个焦点，且, 则( )
A. B. C. D.
【答案】C

4．命题“,”的否定为 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，

5．关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6．“”是“方程表示圆”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．若，则方程表示 （ ）
A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的椭圆
C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的双曲线

8．如图，在正方体中，下列结论不正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

试题分析：因为平面,平面.所以正确，所以A选项正确；由于平面.所以正确，即A选项正确；因为三角形为等边三角形，所以正确即D选项正确.由于与是异面直线.综上选C.
考点：1.线线垂直.2.线面垂直.3.异面直线所成的角.

9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ）
A. B. C. D.

10. 已知椭圆，为坐标原点. 若为椭圆上一点，且在轴右侧，为轴上一点，，则点横坐标的最小值为 （ ）
A. B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.
11. 已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.
12. 命题“若，则”的否命题是：__________________.
【答案】若，则
【解析】
试题分析：命题的否命题是将命题的题设与结论都否定，所以若，则的否命题是 “若，则”.故填若，则.本题的关键是命题的四种形式间的关系，这些题型都要要分清命题的题设与结论，才能正确解题.
考点：1.命题的否命题的表示形式.2.大于的否定是小于等于.

13. 若圆与圆外切，则的值为_______.

14. 双曲线的离心率等于_______；渐近线方程为_______.

15. 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，若此正方体的棱长为，那么这个球的
表面积为_______.
【答案】
【解析】
试题分析：由于正方体的八个顶点都在球的表面上，所以正方体的体对角线就是球的直径，由于正方体的棱长为，所以体对角线，与正方体的棱长的关系为.所以，及球的直径.由球的表面积公式.可得.故填.
考点：1.球内接正方体中的等量关系.2.球的表面积公式.3.空间的想象能力.

16. 已知正方体，点、、分
别是棱、和上的动点，观察直线
与，与．
给出下列结论：
①对于任意点，存在点，使得；②对于任意点，存在点，使得；
③对于任意点，存在点，使得；④对于任意点，存在点，使得．
其中，所有正确结论的序号是__________.

【答案】②③
【解析】

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点.
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面.

【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）参考解析
【解析】
A
B
C
D
E
P

所以 .又因为 平面，平面，
所以 //平面.
（Ⅱ）因为，为中点，
所以 ， 因为 平面，
所以 . 又底面为矩形，
所以 .
所以 平面.
所以 .
所以 平面.
考点：1.线面平行的判断.2.线面垂直的判断.3.线面关系与线线关系的相互转化.4.空间图像感.

18. （本小题满分13分）
已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
考点：1.直线与圆的关系.2.圆的标准方程.3.分类归纳思想.4.运算能力的锻炼.

19. （本小题满分14分）
在斜三棱柱中，侧面平面，，为中点.
（Ⅰ）求证：；
Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积.

所以 平面，
又 平面，
所以 .
（Ⅱ）证明：设与的交点为，连接,
在中，分别为，的中点，A
B
C
A1
B1
C1
D
O

所以 ，
又 平面，平面，
所以 平面 .

20. （本小题满分13分）
已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，且.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
积.
当，的面积也等于.
综上，的面积等于.
考点：1.直线与圆的位置关系.2.待定系数求椭圆的方程.3.解方程的能力.4.三角形的面积公式.

21. （本小题满分13分）
如图，四棱锥中，底面为梯形，，，
，平面平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在点，到四棱锥各顶点的距离都相等？并说明理由.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直线PB垂直于平面PAC.所以可得直线PB垂直于直线PC.通过三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直线BD垂直于DC.所以BC是的斜边，即BC的中点就是所要找的Q点.
试题解析：（Ⅰ）证明：底面为梯形，，
又 平面，平面，
所以 平面.
（Ⅱ）证明：设的中点为，连结，在梯形中，
因为 ，，
所以 为等边三角形，，
又 ，
所以 四边形为菱形.
因为 ，，
所以 ，
所以 ，，
又平面平面，是交线，
所以 平面，
所以 ，即.

所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等.
考点：1.线面平行的判定.2.线线垂直的判定.3.直角三形的性质.4.归纳推理论证的能力.

22. （本小题满分14分）
已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.
（Ⅰ）若，抛物线的焦点与中点的连线垂直于轴，求直线的方程；
（Ⅱ）设为小于零的常数，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点

设，，则.
因为与中点的连线垂直于轴，所以，即.
解得 ，.
所以，直线的方程为.

考点：1.直线与抛物线的关系.2.对称性的问题.3.解方程的能力.4.过定点的问题.

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