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第六讲 经济问题

【专题知识点概述】
应用题是我们最常见的题型，今天要讲的内容是奥数中的经济问题，经济问题可分为很多题型，但最终都是以基本概念为基础的。变形的经济问题，也是很有意思的。这堂课，就让我们一起来学习吧。
一、经济问题的基本概念
对利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
二、经济问题的一般题型
(1)直接与利润相关的问题：
直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。
(2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题：
涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。
【重点难点解析】
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。
2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。
3. 一帮应用解方程的方法求解。
【竞赛考点挖掘】
1. 主要考察学生对问题的分析能力，以考察等量关系为主。
2. 考察学生对经济问题的理解能力，灵活应用经济问题关键量。一些题目，应用特殊方法来解，会使问题简单很多。

【习题精讲】
【例1】（难度等级 ※）
某公司股票当年下跌20％，第二年上涨多少才能保持原值?
【分析与解】
本题需要了解股票下跌和上涨之间的关系,因为上涨值未知,所以可设某公司股票为1,第二年上涨x才能保持原值,则可列方程为:
（1－20%）×（1＋x）=1
所以x＝25%
则第二年应该上涨25%才能保持原值.

【例2】（难度等级 ※）
商店以每双13元购进一批拖鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批拖鞋的全部开销外还获利88元。问：这批拖鞋共有多少双？.
【分析与解】
当卖到还剩5双时，前面已卖出的拖鞋实际获利元，则可知卖出了双，所以这批拖鞋共计85+5=90双。

【例3】（难度等级 ※※）
商店以以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了多少件衬衫？
【分析与解】
将最后7件衬衫按原价出售的话，商店应该获利702+（70-70×0.8）×7=800（元），按原售价卖每件获利20元，所以一共有800÷20=40件衬衫.

【例4】（难度等级 ※）
某种商品的利润率是20％。如果进货价降低20％，售出价保持不变，那么利润率将是多少？
【分析与解】
设原来成本为100元，则相应的利润为20元，定价为120元；成本降低20%，变成80元，而售价不变，在现在的利润率为.

【例5】（难度等级 ※※）
某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80％出售，则亏损832元。问：商品的购入价是多少元？
【分析与解】
按两种价格出售的差额为960＋832=1792（元），这个差额是按定价出售收入的20％，故按定价出售的收入为1792÷20％=8960（元），其中含利润960元，所以购入价为8000元.
【例6】（难度等级 ※※）
某家商店决定将一批苹果的价格降到原价的70%卖出，这样所得利润就只有原计划的 。已知这批苹果的进价是每千克6元6角，原计划可获利润2700元，那么这批苹果共有多少千克？
【分析与解】
原价的30%相当于原利润的，所以原利润相当于原价的 ，则原价与原利润的比值为20：9，因此原利润为元；又原计划获利2700元，则这批苹果共有千克。

【例7】（难度等级 ※※※）
某电器厂销售一批电冰箱，每台售价2400元，预计获利7.2万元，但实际上由于制作成本提高了，所以利润减少了25%。求这批电冰箱的台数。
【分析与解】
电冰箱的售价不变，因此减少的利润相当于增加的成本，也就是说原成本的等于原利润的25%，从而原先成本与利润的比是所以原来每台电冰箱的利润是元，那么这批电冰箱共有7.2×10000÷960=75台.

【例8】（难度等级 ※※※）
商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱？
【分析与解】
由于两种方式卖的钢笔的利润相同，而卖的支数不同，所卖的支数比为20：15，所以两种方式所卖钢笔的利润比为15：20，即3：4，而单支笔的利润差为11-10=1（元），所以两种方式，每支笔的利润分别为：1÷（4-3）×3=3元和1÷（4-3）×4=4元，所以钢笔的进货价为10-3=11-4=7元.

【例9】（难度等级 ※※※）
某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％。妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。如果这10个蜜瓜都在第三天买，那么能少花多少钱？
【分析与解】
设第一天每个蜜瓜的价格是x元。列方程，
2x＋3x×80％＋5x×80％×80％＝38，
解得x=5（元）。都在第三天买，要花5×10×80％×80％=32（元），少花38-32＝6（元）。

【例10】（难度等级 ※※）
某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品。二级品的进价比一级品便宜20％。按优质优价的原则，一级品按20％的利润率定价，二级品按15％的利润率定价，一级品篮球比二级品篮球每个贵14元。一级品篮球的进价是每个多少元？
【分析与解】
设一级品的进价每个x元，则二级品的进价每个0.8x元。由一、二级品的定价可列方程：x×（1＋20％）0.8x×（1＋15％）=14
解得x=50，所以一级品篮球的进价是每个50元.
【例11】（难度等级 ※※）
某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.5元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%，那么商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？
【分析与解】
以1千克苹果为例，收购价为1.2元，运费为元，则成本为1.2+0.6=1.8元，要想实现25%的利润率，应收入元；由于损耗，实际的销售重量为千克，所以实际零售价为每千克元。
【例12】（难度等级 ※※※）
商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180件，于是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利2300元.求商店一共进了多少件衬衫？
【分析与解】
由题目条件，一共有150件衬衫以90元或80元售出，有180件衬衫以100元或90元售出，所以以100元售出的衬衫比以80元售出的衬衫多180-150=30件，剔出30件以100元售出的衬衫，则以100元售出的衬衫和以80元售出的衬衫的数量相等，也就是说除了这30件衬衫，剩下的衬衫的平均价格为90元，平均每件利润为10元，如果将这30件衬衫100元衬衫也以90元每件出售，那么所有的衬衫的平均价格为90元，平均利润为10元，商店获利减少30×10=300元，变成2000元，所以衬衫的总数有2000÷10=200件.
【例13】（难度等级 ※※※）
某商店按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？
【分析与解】
设定价时“1”，卖价是定价的80%，就是0.8.因为获得20%的利润，卖价是成本乘以（1+20%），即1.2倍，所以成本是8÷1.2=
定价的期望利润的百分数是
（1-）÷＝50%

【例14】（难度等级 ※※※）
某公司要到外地去推销产品,产品成本为3000元。从公司到的外地距离是400千米，运费为每件产品每运1千米收1.5元。如果在运输及销售过程中产品的损耗是10%，那么公司要想实现25%的利润率，零售价应是每件多少元？
【分析与解】
以1件商品为例,成本为3000元，运费为1.5×400=600元，则成本为3000+600=3600元，要想实现25%的利润率，应收入3600×(1＋25%)=4500元；由于损耗，实际的销售产品数量为1×(1－10%)=90% ，所以实际零售价为每千克4500÷90%=5000元。

【例15】（难度等级 ※※※）
某大型超市购进一批苹果，每千克的进价是1.2元，售价为5元。由于售价太高，几天过去后，还有500千克没有销售掉。于是公司决定按八折出售苹果，又过了几天，部门经理统计一下，一共售出800千克，于是将最后的苹果按3元售出。最后商店一共获利3100元。求超市一共进了多少千克苹果？
【分析与解】
（法一）
将最后7件商品按原价出售的话，商店应该获利702+（70-70×0.8）×7=800（元），按原售价卖每件获利20元，所以一共有800÷20=40件商品。

（法二）
除掉最后7件的利润，一共获利702-（70×0.8-50）×7=660（元），所以按原价售出的商品一共有660÷（70-50）=33件，所以一共购进33+7=40件商品。

【例16】（难度等级 ※※※）
银行整存整取的年利率是：二年期为11．7％，三年期为12．24％，五年期为13．86％．如果甲、乙二人同时各存人一万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙存五年期．五年后，二人同时取出，那么谁的收益多，多多少元？
【分析与解】
甲存二年期，则两年后获得利息为：1×11.7%×2=0.234（万），再存三年期则为
（1+23.4%）×12.24%×3=0.453（万元）
乙存五年期，则五年后获得1×13.86%×5=0.693（万元）
所以乙比甲多，0.693-0.453=0.24（万元）。

【例17】（难度等级 ※※※）
某书店出售一种挂历，每售出1本可获得18元利润．售出一部分后每本减价10元出售，全部售完.已知减价出售的挂历本数是原价出售挂历的2/3．书店售完这种挂历共获利润2870元．书店共售出这种挂历多少本?
【分析与解】
方法一：减价出售的本数是原价出售挂历本数的2/3，所以假设总共a本数，则原价出售的为3/5a,减价后的为2/5a，所以3/5a×18＋2/5a×8=2870
所以a=205本。
方法二：我们知道原价和减价后的比例为3：2，所以可求平均获利多少，
即(3×18＋2×8)÷5=14元.
所以2870÷14=205本。

【例18】（难度等级 ※※※）
某人在某国用5元钱买了两块鸡腿和一瓶啤酒，当物价上涨20％后，5元钱恰好可买一块鸡腿和一瓶啤酒，当物价又上涨20％，这5元钱能否够买一瓶啤酒？
【分析与解】
方法一：
以原来鸡腿和啤酒的价格为基准，所以可列下面的式子：
两块鸡腿+一瓶啤酒=5元
(一块鸡腿+一瓶啤酒）×(1+20%)＝5元
1瓶啤酒=4块鸡腿，所以原来一瓶啤酒要20/6元。
物价上涨两次20%以后，啤酒的价格为：20/6×（1+20%）(1+20%)=4.8元。所以还能够买到一瓶啤酒。
方法二：
物价上涨20%后，如果钱也增加20%，那么就仍然可买两块鸡腿和一瓶啤酒。
两块鸡腿 + 一瓶啤酒=6元。但是现在一块鸡腿+一瓶啤酒=5元，
则一块鸡腿=1元。一瓶啤酒=4元。再上涨20%以后，一瓶啤酒为：
4×（1+20%）=4.8元。

【例19】（难度等级 ※※※※）
一件衣服，第一天按原价出售，没人来买，第二天降价20％出售，仍无人问津，第三天再降价24元，终于售出。已知售出价格恰是原价的56％，这件衣服还盈利20元，那么衣服的成本价多少钱？
【分析与解】
我们知道从第二天起开始降价，先降价20%然后又降价24元，最终是按原价的56%出售的，所以一共降价44%，因而第三天降价24%。
24÷24%=100元。原价为100元。
因为按原价的56%出售后，还盈利20元，所以100×56%-20=36元。
所以成本价为：36元。

【例20】难度等级 ※※※※）
“新新”商贸服务公司，为客户出售货物收取销售额的3％作为服务费，代客户购买物品收取商品定价的2％作为服务费.今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共扣取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡.问所购置的新设备花费了多少元?
【分析与解】
“该客户恰好收支平衡”，这表明该客户出售物品的销售额的1—3％=97％，恰好用来支付了设备与代为购买设备的服务费，即等于所购置新设备的费用为(1+2％)=102％.从而求得出售商品所得与新设备价格之比；再以新设备价格为“1”，可求出两次服务费相当于新设备的多少，从而可解得新设备价格.出售商品所得的1—3％=97％等于新设备价格的1+2％=102％.设新设备价格为“1”，则出售商品所得相当于102％÷97％= .该公司的服务费为×3％+1×2％=，故而新设备花费了264÷=5121.6(元).

【作业】
1. 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？
【答案】6300-4800=1500（元）

2. 一千克商品按20%的利润定价，然后又按8折售出，结果亏损了64元，这千克商品的成本是多少元？
【答案】1600（元）

3. 某商品按每个5元的利润卖出4个钱数，与按每个20元的利润卖出3个的钱数一样多，这种商品每个成本是多少元?
【答案】40（元）

4. 一千克商品随季节变化降价出售，如果按现价降价10%，仍可获利180元，如果降价20%就要亏损240元，这种商品的进价是多少元？
【答案】3600(元)
5. 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱25%，求原价是多少元？
【答案】254(元)

6. 甲、乙两店都经营同样的某种商品，甲店先涨价10%后，又降价10%；乙店先涨价15%后，又降价15%。此时，哪个店的售价高些？
【答案】甲店为原价的99%,乙店为原价的97.74%

7. 同一种商品，甲商店进价比乙商店进价便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，这样，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，甲店的进价是多少元？
【答案】54(元)

8. 王明把3000元钱存入银行，年利率2.1%，三年到期后，一共能取出多少元钱？
【答案】3189（元）

挑战自己 （难度等级 ※※※※※）
某人以每3只16分的价格购进一批桔子。随后又以每4只21分的价格购进数量是前一批2倍的桔子，若他想赚取全部投资20%的盈利，则应以每3只多少分的标价出售？

【答案】19分