1、第二章 线性系统的最优滤波和预测
2.1 线性离散系统的最优滤波
假设系统分别由下列线性离散方程所描述：
(2.1)
式中，，，，，且系统噪声和观测噪声为零均值白噪声序列，即对所有有
(2.2)
假定初始状态有下列统计特性：
， (2.3)
与、都不相关，即
， (2.4)
现在用正交投影法来推导线性离散系统的最优估计值的计算式。系统状态基于前次观测的线性最小方差估计应为在上的正交投影，即
(2.5)
亦
2、即
使得估值与之间的误差的方差为最小，即
离散系统Kalman滤波问题可以分成三类：
（1）称为预测（或外推）问题；
（2）称为滤波（或估计）问题；
（3）称为平滑（或内插）问题。
我们在下面各节依次讨论离散线性系统和连续的最优滤波和最优预测方法。
当时，为最优滤波估计
(2.6)
由于
(2.7)
式中表示全体，于是
(2.8)
由于与不相互独立，根据条件期望公式有
(2.9)
其中
下面推导(2.
3、9)式中各项的表达式：
由于与互不相关，而且，故
(2.10)
再来看(2.9)式等号右边第二项，由于
(2.11)
而
相对于独立，且，故
(2.12)
由于
(2.13)
将表达式(2.11)和(2.12)代入(2.13)式中，得
由于与相互独立，故
令
(2.14)
则
(2.15)
由(2.13)式得
(2.16)
将(2
4、10)式、(2.15)式和(2.16)式代入(2.9)式，得
(2.17)
(2.17)式表示在时刻获得观测值后，的最优估计值的计算式，它是用时刻的观测值来修正递推值后得到的，因而是一种递推估计，通常称(2.17)式为Kalman滤波方程。
令
(2.18)
则称为Kalman增益阵，为预测误差协方差，它可以由下式求得
现在求滤波误差协方差阵的表达式。由于
故
(2.20)
将
代入上式
即
(2.21)
综上所述，最优滤波估计由以下递推公式给出：
(2.22)
我们称(2.22)式所表达的递推算法为Kalman滤波器(KF)
实际应用中，我们是在已知时刻状态的估计值和相应的估计误差协方差阵，Kalman滤波器的滤波过程为
算法的具体步骤：
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