155几何体的体积.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/12/1,(,二期课改,),15.5.,棱柱的体积及表面积,(1),复习引入,一,.,回顾几种常见的平面多边形的面积公式及一些复杂多边形的面积的计算方法,.,二,.,由长方体,(,直四棱柱,),的体积公式,:,V=Sh,.,对于一般的棱柱其体积的计算方法是怎样的呢,?,*问题的提出,:,新课讲解,一,.,介绍,(,祖暅原理,),的具体内容,:,*我国古代数学家祖暅在,“,开立圆术,”,一书中指出,:,(,约在公元,5,世纪,),“,夫叠棊（棋）成立积,缘幂势既同,则积不容异,”,*现代文解释为,体积可以看成是由面积叠加而成,用一组平行的平面截两个空间图形,若在任意高处的截面面积都对应相等,则两个空间图形的体积必然相等,.,说明,上述论述称为祖暅原理,其正确性可以验证,.,利用叠书法加以理解和感悟,.,(,课文,P37,图解,),祖暅原理,S,h,S,S,h,新课讲解,二,.,棱柱体积公式的推导,:,*由长方体的体积公式,V=Sh,.,利用祖暅原理,结合图,16-45,推导出,:,(,棱柱体积公式,)-,V,棱柱,=Sh.,新课讲解,例题,1,三,.,棱柱体积的计算,.,已知三棱柱 的底面为直角三角形,两直角边,AC,和,BC,的长分别为,4cm,和,3,cm,侧棱 的长为,10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积,.,(1),侧棱 垂直于底面,;,(2),侧棱 与底面所成的角为,60,.,例题,1,已知三棱柱 的底面为直角三角形,两直角边,AC,和,BC,的长分别为,4cm,和,3,cm,侧棱 的长为,10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积,.,(1),侧棱 垂直于底面,;,(2),侧棱 与底面所成的角为,60,.,例题,1,已知三棱柱 的底面为直角三角形,两直角边,AC,和,BC,的长分别为,4cm,和,3,cm,侧棱 的长为,10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积,.,(1),侧棱 垂直于底面,;,(2),侧棱 与底面所成的角为,60,.,归纳总结,计算棱柱体积,关键是计算棱柱的底面积和棱柱的高,.,为方便计算棱柱的底面积,可以把棱柱的底面多边形画成其平面图形,.,注意区分棱柱的侧棱与棱柱的高之间的区别,.,*,在直棱柱中,:,侧棱,=,高,;,*,而在一般的斜棱柱中,:,侧棱与高并不相等,但侧棱与高加上侧棱在底面上的射影构成一个,Rt,.,例题讲解,例题,2,已知斜三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AB=AC=10 cm,BC=12cm,顶点,A,1,到,A,、,B,、,C,的距离都等于,13,cm,试求,:,三棱柱的体积,.,分析,解本题要注意在理解题意的基础上先作出相应的斜三棱柱底面三角形的平面图及斜三棱柱的准确的直观图,而后数形结合解题本题中计算棱柱的体积的关键在于计算棱柱的高,而要计算棱柱的高必须先计算出三棱柱的底面三角形的外接圆半径,.,A,C,B,A,1,C,1,B,1,O,略解,*由已知易求底面积为,48cm,2,.,*垂足,O,是底面三角形,ABC,的外心,.,*由等腰三角形,ABC,的,边长计算出其外接圆,的半径,OA:,*在,Rt,三角形,A,1,BO,中,计算出棱柱的高,:,*,计算出棱柱的体积为,:,课堂练习,*课本,(P38),练习,15.5(1):1;2,(,补 充 题,),(*),已知斜四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是边长为,8,的正方形,侧棱,AA,1,长为,12,且A,1,到下底面的各顶点间的距离相等,试求,:,(1),四棱柱的体积,;,(2),四棱柱的侧面积,.,A,B,C,D,A,1,B,1,D,1,C,1,O,*,由已知可得,:,柱高,A,1,O,的垂足,O,其实就是正方形,ABCD,的中心,.,12,8,例,1,有一堆规格相同的铁制（铁的密度是,）六角螺帽共重,5.8kg,，已知底面是正六边形，边长为,12mm,，内孔直径为,10mm,，高为,10mm,，问这堆螺帽大约有多少个（取,3.14,）？,解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即,:,所以螺帽的个数为,（个）,答：这堆螺帽大约有,252,个,(,二期课改,),15.2.,棱锥的体积及表面积,(2),新课讲解,一,.,问题的提出,:,*棱锥的体积公式如何探求,?,(,解决三棱锥的体积问题,),*,n,边形,*,(,n,-,2,),个三角形,*用,(n-3),条共点的对角线分割成*,*,n,棱锥,*,(,n,-,2,),个三棱锥,导出,:,(,解决,n,棱锥的体积问题,),(*,五棱锥,P-ABCDE,的体积*,),(*,三棱锥,P-ABE,的体积*,),+(,*,三棱锥,P-BCE,的体积*,),+(,*,三棱锥,P-CDE,的体积*,),新课讲解,*等底等高的三棱锥的体积相等,.,二,.,推导证明,:,已知,:,三棱锥,O-ABC,和,P-DEF,的底面面积都是,S,高都是,h,求证,:V,三棱锥,O-ABC,=V,三棱锥,P-DEF,.,证明,:,结合图,15-36(,课本,P39).,且相似比是,:,同理可得,:,且相似比是,:,故可得：,由祖暅原理得,:,V,O-ABC,=V,P-DEF,.,新课讲解,三,.,推导,:,三棱锥的体积公式,:,*证明思路,:,利用三个三棱锥构造出一个三棱柱,.,其体积,:,V,棱柱,=,Sh.,证明由三棱柱分割而成的三个三棱锥的体积相等,.,三棱锥的体积等于与它等底等高的三棱柱的体积的三分子一,.,(,阅读理解课本,P40),A,C,D,B,A,C,E,D,B,F,A,E,B,F,A,C,D,B,F,A,E,B,FA,C,B,F,A,C,D,B,新课讲解,四,.,计算棱锥和棱台的体积,:,例题,2,试求棱长都为,a,的正四棱锥的体积和表面积,.,*略解,:,*在,Rt,PAO,中,:,总结,解题关键是找到并计算出棱锥的高就是棱锥的顶点与底面正方形中心的连线,.,棱锥的表面积包括侧面面积与底面面积,.,锥体的体积,棱锥的体积,圆锥的体积,O,S,O,S,R,高等于底面半径的旋转体体积对比,球的体积,练习：,已知：长方体 中，,AB=4，BC=2，,=3，,求三棱锥 的体积,解法分析：,=24,=4,A,B,C,D,E,例1：,如图，在边长为,a,的正方体 中，点,E,为,AB,上的任意一点，求三棱锥 的体积,。,解法分析,：V,=,V,例3：,已知三棱锥,PABC,中，,PA=BC=a,且,ED=b,求三棱锥的体积,P,A,B,C,E,D,解法分析：,a,b,a,垂面法,P,A,B,C,E,D,或者：,a,b,a,例3：,已知三棱锥,PABC,中，,PA=BC=a,且,ED=b,求三棱锥的体积,例,5,，求四棱锥,A,1,-EBFD,1,的体积？,B,B,1,C,D,A,C,1,D,1,A,1,E,F,易证四边形,EBFD,1,为菱 形，连结,EF,，则,解法分析：,或者：,例,3,、如图所示，已知三棱锥,ABCD,的三个侧面互,相垂直，且它们的面积分别为,6,、,4,、,3,，求此,三棱锥的体积。,A,B,C,D,A,B,C,D,取适当的,底和高,