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谈如何培养学生在数学教学中的解题能力
摘要：教学关键是教会学生用所学的知识解决实际问题,即要提高学生的解题能力。文章从培养学生“数形”整合、“方程”思维、“对应”思维、“转化”能力、增强自信等五个方面谈如何培养学生的数学解题能力。
前 言　　　　
　　中学数学的教学工作目的，归根结底在于培养学生的解题能力，提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务。提高学生解题能力始终贯穿于教学始终，那么，如何才能提高学生的解题能力，本人认为可以从以下方面着手：
　　一、培养“数形”结合的能力
　　“数”与“形”无处不在。任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小两个属性，就交给了教学去研究了。初中数学两个分支——代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。但是研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形整合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分。到了高中就出现了专门用代数方法研究几何问题的一门课，叫做“解析几何”。在初二建立平面直角坐标系后，研究函数的问题就离不开图像了。往往借助图像能使问题明朗化，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾上了一点边，就应该根据题意画出草图来分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。尝到甜头的人就会慢慢养成一种“数形结合”的好习惯。
　　二、培养“方程”的思维能力
　　数学是研究事物的空间形式和数量关系的，最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关的等式：速度ⅹ时间＝路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。我们在小学就已经接触过简易方程，而初一则比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤，任何一元一次方程都能顺利地解出来。初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、分式方程，到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化一元一次方程或是一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式，现实中的大量实际运用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。所谓的“议程”思维就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。　三、培养学生数学“转化”思维能力
　　解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐将它转变为一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。比如，我们学校要扩大校园面积，需要向镇上征地。镇上给了一块形状不规则的地，如何丈量的它的面积呢？首先使用小平板仪（有条件的话，可使用水准仪或经纬仪）依据一定的比例，将实际地形绘制成纸上图形，然后将纸上图形分割成若干块梯形、长方形、三角形，利用学过的面积计算方法，计算出这些图形的面积之和，也就得到了这块不规则地形的总面积。在这里，我们把无法计算的不规则图形转化成了可以计算的规则图形，从而解决了土地丈量问题。另外,我们前面提到的各种多元方程、高次方程，利用“消元”、“降次”等方法，最终都可以把它们转化为一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步骤或公式把它们解决。“转化”的思想，是解题最重要的思维习惯。面对难题，面对没有见过的题，首先就要想到转化，也总是能够转化的。平时，要多留心老师是怎样解题的，是怎样“化难为易，化繁为简，化未知为已知”的。同学之间也应多交流交流成功转化的体会，深入理解转化的真正含义，切实掌握转化的思维和技巧。
　 四、培养“对应”的思维能力
　　“对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“１”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“２”。随着学习的深入，我们将对应扩展到对应一种关系、对应一种形式等等。比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边Ｘ，对应Ａ；Ｙ对应B；再利用公式的右边直接得出原式的结果。这就是运用“对应”的思想和方法来解题。初二初三我们将看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应。“对应”思想在今后的学习中将会发生越来越大的作用。
　　五、增强自信是解题的关键
　　自信才能自强，在考试中，总是看到有些同学的试卷出现许多空白，有好多题根本没有动手去做。俗话说，艺高胆大转上页）（接下页）艺不高就胆不大。但是做不出是一回事，没有去做又是另一回事。稍微难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的。要去分析、探索、比比画画、写写算算，经过迂回曲折的推理或演算，才能显现出条件和结论之间的某种联系，整个思路才会明朗清晰起来。没有动手去做，又怎么知道自己不会做呢？即使是老师，拿到一道难题，也不能立即答复你。也
同样要去分析研究，找到正确的思路后才能讲授。不敢去做稍微复杂一点的题（不一定是难题，有些题只不过是叙述多一点），是缺乏自信心的表现。在数学解题中，自信心是相当重要的。要相信自己，只要不超出自己的知识范畴，不管哪道题，总是能用自己所学过的知识把它解出来。要敢于去做题，要善于去做题。这就叫做在“在战略上藐视敌人，在战术上重视敌人”。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性。抓住这一道题与这一类题不同的地方，数学题几乎没有相同的，总有一个或几个条件不相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学老师讲过的题会做，其他题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择其它条件有关的，进行推算或演算。一般难题都有多种解法，条条大道通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键在于你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是熟能生巧，加快速度，节省时间，这一点在考试中时间有限制时显得尤为重要；二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信心就会畏难，就会放弃。只有自信才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。
摘 要   　学生数学解题能力并非通过传授获得的，而是通过培养而逐步发展的．它是一项复杂的系统工程。该文从四个方面阐述了数学教学中如何有效地培养学生解题能力的问题。
关键词  　数学；解题能力；培养
分类号  G633．6
　 问题是数学的心脏，数学学习离不开解题。中学数学教学的重要任务。就是使学生“具有正确、迅速的运算能力，一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力，从而培养学生分析问题和解决问题的能力”。学生解题能力的培养，必须与数学知识教学以及一般解题方法的教学紧密结合起来，这已成为广大数学教师的共识。但是，在教学实际中，应该通过哪些途径有效地进行训练才能取得更好的效果?这是需要我们不断探索的重要任务。
    途径一：注重“三基”教学，完善学生的认知结构
    学生解题能力的高低，取决于学生的素质；即知识结构与智能结构(原认知结构)。它们与解题能力的关系，恰如屋基与高楼、树根与大树的关系。因此，培养学生的解题能力，一定要从数学基本理论、基本技能和基本方法的教学抓起。
    1、 抓概念、定理、公式、法则等的教学，要求学生做到理解、熟练。例如．对于概念，不仅要讲清概念的内涵和外延，弄清概念与概念之间的区别与联系，还要引导学生从正反几方面提出问题来加深他们对概念的理解。对于概念的掌握，要对学生提出明确的要求：(1)要求他们懂，要理解得准确、透彻；(2)要求他们会讲，能用正确的数学语言来叙述这些概念，能用自己的话来通俗地解释这些概念，有些重要的定义、定理要一字不差地背下来；(3)要求他们会用，运用得熟练。基础知识掌握好了，解题就有了依赖的基础。
    2、在抓“三基”的过程中，有意识地注意解题能力的培养。要注意以下几方面的教学：(1)让学生明确学习这部分知识的目的和作用，调动学生的求和欲望和学习积极性；(2)让学生有充分的时间去阅读课本，在阅读过程中发现问题，养成独立钻研的习惯；(3)教师要有意识地给学生指出解决问题应观察的重点和思维中心，便于学生思考；(4)围绕这一观察重点与思维中心，让学生提出问题，教师要善于归纳大家的意见，启发学生的思路，帮助得出正确的结论。
    途径二：遵循学生认知规律，强化解题教学的针对性
    解题教学的本质是“思维过程”，受年龄等因素的限制，学生思维发展有其特定的规律， 这需要解题教学应遵循学生认知特点，设置最近发展区，进行有针对性地训练。
    1、加强例题的典范作用
    例题，是数学教学中传授知识、展示数学思想方法、培养学生能力的重要载体。学生解题，仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化。因此，例题教学要突出其目的性、启发性、示范性、延伸性、规律性，使学生从中学会分析问题和解决问题的方法，提高思维决策能力。例如：(1)将asinx+bcosx化为一个角的三角函数形式；(2) 求y=cosx+ sinx的最大最小值；(3)求y=sin2x十2sinxcosx十3cos2x的最大最小值。这三个问题，分别是课本例题、课本习题、高考题，它们是密切相关的。在(1)中令ａ＝ｂ＝l， 得(2)；(2)中用2ｘ代ｘ，按二倍角展开，再添加常数2(2＝2sin2ｘ十2cos2ｘ)，化简即为(3)。可见，解决好例题的教学，就为学生思维品质和解题能力的提高起了积极的促进作用。
    2、充分暴露教师在解题过程中思维的过程
    成功地解决一个数学问题，其思维活动是复杂的，“为什么要这样做”、”怎么想到的?”， 这些问题是学生最感困难的。教师在教学中，应采取主动的接受学习的方式，辅以有指导的 发现学习，将自身或者怎样理解前人是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思 维进程展示给学生，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分 析、思考和解决问题的思想方法和步骤，这对培养和提高学生解题能力是十分重要好；特别； 适时展示教师思维受阻、失败的探索过程，分析其原因，从反面衬托正确思路的必要性与合 理性，也能给学生十分有益的启示。
    3、抓好符合学生思路的问题解决
    学生解题时，常遇到各种困难，需要教师答疑。这时教师最需要做的工作是帮助他们分析障碍原因，矫正他们原有认识上的偏差，充实、完善他们对问题分析；发现、创造的过程，引导他们解决问题。但是，需要注意的是，学生看问题的角度和思路与教师常常不全相同，甚至相去甚远，其遇到的问题与教师的判断并不一定吻合。因此，教师在解决问题时，要注重学生原有思路的分析，设身处地地了解学生面临的困难，抓住疑难的本质，积极导找解决问题的契机，把问题转化为符合学生思路的解决办法。
    途径三：教给学生解题决策的模式
    在大量的解题过程中，存在着共同的客观规律，而解题决策模式是决策过程客观规律的 表述，它是解题思维起步必须遵循的员一般的活动规律。这是解题教学的一个重要内容。
    l、掌握探索解题途径的程序
    著名数学家波利亚将解题过程分为四个步骤：
    (1)审题：A、理解题意 B、明确条件和要求 C、尽可能画出直观图或示意图；
    (2)寻找解法：A、辨别题目类型 B、联系可能用到的知识、方法 C、找出已知与未知间的关系；
    (3)写出解法：A、用正确、合理而简明的式子或文字表达出来 B、检验
    (4)小结：A、寻找更佳解法 B、归纳解题规律。
    它阐明了解题过程的基本结构。教学中要注意强化这一过程，展示每一阶段的特征和处理方法，使学生存—条解决问题的基本“路子”。
    2、掌握常用的思维方法

    实施解题中，最困难的就是解题思路的发现。思路的发现，归根到底是由“方法”引路的。教学中要注意基本思想方法的分析和评述，使学生掌握综合法、分析法、比较法、反证法、穷举法、数学归纳法、待定系数法等，在解特殊方程时，要掌握换元法、图象法、综合除法等。在运用这些基本方法时，还有许多基本的规律。例如，立体几何中，证直线与平面的位置关系，一般思路为：(1)证线面平行，先证线线平行；(2)证面面平行，先证线面平行，(3)证线面垂直，先证线线垂直；(4)证面面垂直，先证线面垂直等。教学中要充分展示这些方法的运用，并着力引导学生去发现这些思路并使他们理解和掌握。

    途径四：加强非智力因素的引导与调控

    非智力因素，主要指注意力、坚持性、动机和态度等心理品质及人格持征的个性差异，这些因素对解题决策产生直接影响，需要教师在教学中有意识的引导和调控。
    l、加强解题后进行反思的训练
    解题心理规律告诉我们，学生在解题过程中可能百思不解，尔后又可能突然顿语．此时的思维具有很大的直觉性，可能顾及不到对自己的思维过程进行分析、整理。事实上，有效的解题方法，体现了很多重要的数学思想，它对解决同类问题、拓宽思路、提高解题决策能力是十分重要的。要使学生学会从正确的解题中总结方法，提高对解法的理解，形成能力。同时，对习题中的错误也要进行剖析。错解．真实地反映了学生对知识的理解和掌握上的不足，总结思维受阻、解法错误的原因何在，就能对正确解法认识得更深刻。例如，在解对数方程lg(x一1)2＝2时，学生时常会出现以下错误：1g(x一1)2＝2→2lg(x一1)＝2→lg(x一1)＝l→x一1＝10→x＝11分所其原因知：(1)解对数方程时，每一步化简不一定能保证为恒等变形，可能产生增根或失根，因此解对数方程要验根；(2)由于舍去增根比找回失根更易做到，因此化简中对变量的取值范围—般“宁增勿减”。由此从反面促进对解法的理解和掌握。
    2、鼓励学生大胆猜想，勇于实践
    许多学生解题时，有十分好的想法，但就是缺少试一试的行动，延缓甚至失掉了一个良好解法的诞生。例如有这样一道题：已知tgα·tgβ＝l，求(2一cos2α)(2一cos2β)的值。许多学生由条件得：cos(α十β)=(2一)cos(α一β) ①由需求化简得原式=cos2(α十β)十cos2(α一β)一4cos(α十β)cos(α一β)十3 ②到了这里，或因缺乏足够的胆略和勇气，或因惧怕复杂的计算，一些学生就没有信心而退缩了。殊不知，只要将①代入②合并，很容易就得到结果为3。可见，解题的成功常常伴随在试一试的过程中完成的，正如波利亚评价欧拉出色解决了伯努里的求级数和的问题时说的：“欧拉成功的决定因素是大胆”。因此，教学中要鼓励学生大胆一试，把想法变成行动。

    总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练。只有这样，才能其正把这一工作做好。